Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ответ./₁₈(2m ± 1); /₁₈(18m ± 3); /₁₈(18m ± 5); /₁₈(18m ± 7).

13.5. Если запишем данное уравнение в виде

то получим равносильное уравнение. Однако дальнейшие преобразования заставляют нас ввести ограничения:

Далее

Когда tg x /= 0, то и sin x /= 0. Это означает, что первое уравнение можно переписать в виде ¹/_{cos x} = 2, откуда cos x = 1/2 , что обеспечивает выполнение всех ограничений.

Ответ. 2n ± /₃.

13.6. Прибавив к обеим частям уравнения tg 3x, получим

3(tg 3x - tg 2x) = tg 3x (1 + tg^2 2x),

или

Последнее уравнение эквивалентно системе

Решим первое уравнение. Для этого представим произведение sin x cos 2x в виде разности синусов. После приведения подобных членов получим

sin 3x = 3 sin x.

Воспользовавшись формулой синуса тройного угла, придем к уравнению

sin x (3 - 4 sin^2 x) = 3 sin x, или sin^3 x = 0,

откуда x = k.

Легко проверить, что при x = k ни cos 2x, ни cos 3x в нуль не обращаются.

Ответ.k.

13.7. Преобразуем уравнение следующим образом:

(sin x + cos x)(1 - sin xcos x) + ¹/₂ sin 2xsin (x + /₄) = sin (/₂ - x) + sin 3x.

Так как sin x + cos x = 2 sin (/₄ + x), то придем к уравнению

sin (/

₄ + x) = 2 sin (/₄ + x ) cos (/₄ - 2x).

Если sin (/₄ + x) = 0, то x₁ = /₄(4n - 1). Остается

2 cos (/₄ - 2x) = 1,

откуда

x₂ = n, x₃ = /₄(4n + 1).

Серии чисел x₁, = /₄(4n - 1) и x₃ = /₄(4n + 1) можно объединить: x₁ = /₄(2n + 1).

Ответ./₄(2n + 1); n.

13.8. Перепишем уравнение следующим образом:

4(tg 4x - tg 3x) = tg 2x (1 + tg 3x tg 4x).

Приведем выражения в скобках к виду, удобному для логарифмирования:

Уравнение равносильно системе

Так как cos x = 0 не удовлетворяет уравнению, то его можно переписать так:

4 tg x = tg 2x, или 2 tg x = ^{tg x}/_{1 - tg^2 x}.

Мы воспользовались неабсолютным тождеством, которое исключает из области определения те значения x, при которых tg x не существует. Однако tg x входил в предыдущее уравнение, а потому существует, и потеря корней произойти не может. Из последнего уравнения, если tg x = 0, получаем x = n.

Если tg x /= 0, то 2 - 2 tg^2 x = 1, tg x = ±¹

/₂. Так как cos 3x и cos 4x не обращаются при этом в нуль, то можно написать ответ.

Ответ.n; n ± arctg ¹/₂.

13.9. Уравнение можно переписать так:

Поскольку 0 x 2, то 0 ^x/₂ и sin ^x/₂ 0. Однако cos ^x/₂ в этом интервале меняет знак, и нам придется разбить интервал на два: 0 x =  и x 2.

Если 0 x = , получим уравнение

²/₂ sin ^x/₂ + ²/₂ cos ^x/₂ = sin 2x,

y которого может появиться лишь один посторонний корень при cos x = 0. Перепишем последнее уравнение так:

sin (^x/₂ + /₄) = sin 2x,

и найдем его корни из интервала 0 x = : x₁ = /₆, x₂ = ³/₁₀. Если  x 2, придем к уравнению

²/₂ sin ^x/₂ - ²/₂ cos ^x/₂ = sin 2x   или   sin (^x/₂ - /₄) = sin 2x,

которое даст нам еще два корня: x₃ = ⁷/₆, x₄ = ¹³/₁₀ . Очевидно, что для полученных углов cos x /= 0.

Ответ./₆;

³/₁₀; ⁷/₆; ¹³/₁₀.

13.10. Перенеся sin  в левую часть, запишем уравнение в виде

2 sin ^x/₂ cos ^x - 2/₂ = 2 sin ^x/₂ cos ^x/₂,

или

sin ^x/₂ (cos ^x - 2/₂ - cos ^x/₂) = 0.

Если sin ^x/₂ = 0, то x = 2n при любом . Если cos ^x - 2/₂ = cos ^x/₂, то либо ^x - 2/₂ + ^x/₂ = 2n, откуда x = 2n + , либо ^x - 2/₂ - ^x/₂ = 2n, откуда  = 2n.

Ответ. При любом : 2n, 2n + ; при  = 2n: x - любое.

13.11. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений

cos 2x = sin^2 x - a, cos 2x = a - sin^2 x.

Понизим степень в правой части каждого уравнения и найдем

cos 2x = ^{1 - 2a}/₃, cos 2x = 2a - 1.

Первое уравнение имеет решение, если

-1 = ^{1 - 2a}/₃ = 1, т. е. -1 = a = 2.

Второе уравнение имеет решение, если -1 = 2a - 1 = 1, т. е. 0 = a = 1. Данное в условии уравнение при -1 = a = 2 имеет решения

x = n

 ± 1/2 arccos ^{1 - 2a}/₃,

а при 0 = a = 1 решения

x = n ± 1/2 arccos (1 - 2a).

Так как

0 = 1/2 arccos ^{1 - 2a}/₃ = /₄ и 0 = 1/2 arccos (1 - 2a) = /₂,

то легко найти решения нашего уравнения, которые попадут в интервал 0 = x = 2.

Ответ. 1/2 arccos ^{1 - 2a}/₃;  ± 1/2 arccos ^{1 - 2a}/₃; 2 - 1/2 arccos ^{1 - 2a}/₃ (существуют при -1 = a = 2);

1/2 arccos (1 - 2a); ± 1/2 arccos (1 - 2a); 2 - 1/2 arccos (1 - 2a) (существуют при 0 = a = 1).

13.12. Преобразуем подкоренное выражение следующим образом:

sec^2 (17 + 8 sin x - 16 cos^2 x) = sec^2 x (1 + 8 sin x + 16 sin^2 x) = sec^2 x (1 + 4 sin x)^2.

Данное уравнение принимает вид

^{|1 + 4 sin x|}/_{|cos x}| = 2 tg x (1 + 4 sin x).

Если 1 + 4 sin x = 0, то x = n + (-1)ⁿ + 1 arcsin  1/4 . Это — корни нашего уравнения, так как cos x /= 0 и tg x существует.

Если 1 + 4 sin x /= 0, то придется рассмотреть два случая, зависящих от знака этого выражения.

Пусть 1 + 4 sin x 0, т. е. sin x - 1/4 . Тогда придем к уравнению

¹/_{|cos x}| = 2 tg x,  или  2 tg x|cos x| = 1,

которое равносильно совокупности систем

Вторая система не имеет решений при sin x - 1/4 . Решение первой: x = /₆ + 2n.

Пусть, наконец, 1 + 4 sin x 0, т. е. sin x - 1/4 . Уравнение

2 tg x |cos x| = -1,

к которому мы приходим в этом случае, равносильно такой совокупности систем:

Вторая система не имеет решений при sin x - 1/4 , а первая дает нам x = -/₆ + 2n.