Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ответ.n + (-1)ⁿ + 1 arcsin 1/4 ; ±/₆ + 2n.

13.13. Поскольку tg x + sin x = tg x (1 + cos x) = 2 tg x cos^2 ^x/₂, а tg x - sin x = 2 tg x sin^2 ^x/₂, данное уравнение можно записать в виде

2 tg ^1/2 x(|cos ^x/₂| + |sin ^x/₂| - 2 cos x) = 0.

Первые решения получим при tg x = 0; x = k. Остальные решения нам доставят корни уравнения

|cos ^x/₂| + |sin ^x/₂| = 2 cos x,

при которых tg x 0 (случай tg x = 0 уже исследован). Решим вначале последнее уравнение, а затем исключим те решения, которые не удовлетворяют неравенству tg x 0. Возведем это уравнение в квадрат и, чтобы не нарушить равносильности, добавим ограничение cos x >= 0. Получим систему

Так как одновременно tg x 0 и cos x 0, то sin x 0. Поэтому

|sin x| = sin x.

Приходим к уравнению

2sin^2 x + sin x - 1 = 0.

Решая его, найдем

|sin x| = ^{-1 ± 3}/₄.

Так как |sin x| >= 0, то остается решить уравнение

|sin x| = 1/2 ,

корнями которого будут числа

x = /

₆ + 2k, x = ⁵/₆ + 2k.

Остается вспомнить, что tg x 0.

Ответ.k, /₆ + 2k.

13.14. При замене ¹/_{sin 4x} на  можно ожидать потери корней, при которых tg 2x не существует, или, что то же самое, cos 2x = 0. Однако при cos 2x = 0 обращается в нуль и sin 4x, т. е. потери корней не произойдет.

Так как в левую часть уравнения

ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + (1 + tg^2 2x)¹/_{tg 2x}

входит ctg 2x, то, заменив ¹/_{tg 2x} на ctg 2x и раскрыв скобки, мы уничтожим в правой и левой частях ctg 2x. Замена ¹/_{tg 2x} = ctg 2x грозит лишь приобретением корней, при которых tg 2x не существует, т. е. безопасна, так как tg 2x остается в уравнении. Когда происходит уничтожение одинаковых слагаемых ctg 2x, то нужно добавить к уравнению

3 tg 3x = 2 tg x + tg 2x,

условие

ctg 2x существует.

Мы воспользовались попутно неабсолютным тождеством tg 2x ctg 2x = 1, которое не приводит к приобретению посторонних корней, так как tg 2x и ctg 2x остались в системе.

Преобразуем уравнение следующим образом:

2(tg 3x - tg x) + tg 3x - tg 2x = 0,

т. е.

Теперь систему можно переписать так:

Так как sin 2x /= 0, то на него можно сократить. Получим уравнение

cos 2x = - 1/4 ,

откуда x

 = ±arccos(- 1/4 ) + k. Поскольку при этих x все ограничения выполняются, найденные значения x являются решениями данного уравнения.

Ответ. ±arccos(- 1/4 ) + k.

13.15. Данное уравнение равносильно системе

Пусть sin x^2 + cos x^2 = y. Возведем это соотношение в квадрат: 1 + 2 sin x^2 cos x^2 = y^2, откуда

sin x^2 cos x^2 = ^y^2 - 1/₂.

После подстановки и простых преобразований уравнение примет вид

y^2 - 2y - 3 = 0,

откуда y₁ = -1, y₂ = 3. Второй корень посторонний, так как sin x^2 + cos х^2 всегда меньше двух.

Если sin x^2 + cos x^2 = -1, то

cos (х^2 - /₄) = -¹/₂ и x^2 = 2n ± ³/₄ + /₄.

Взяв знак плюс, получим x^2 = (2n + 1). Этот корень посторонний, так как sin x^2 /= 0.

Для знака минус получим, что x^2 = -/₂ + 2n. Это тоже посторонний корень, так как cos x^2 /= 0.

Ответ. Нет решений.

13.16. Данное уравнение равносильно системе

Уравнение можно привести к однородному, домножив 6 sin x на sin^2 x + cos^2 x:

3 sin^3 x - cos^3 x - 2 sin x cos^2 x = 0.

Обозначим tg x через y, получим

3y^3 - 2y - 1 = 0, или (y - 1)(3y^2 + 3y + 1) = 0,

где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Остается y = 1, т. е. tg x = 1, x = /₄ + n. Однако cos 2x при x = /₄ + n обращается в нуль.

Ответ. Нет решений.

13.17. С помощью формул универсальной подстановки придем к уравнению относительно y = tg ^x/₂:

y(2y^3 - 7у^2 - 2y + 1) = 0.

В результате такой замены могли быть потеряны корни, так как tg ^x/₂ теряет смысл при x = (2k + 1), в то время как sin x, cos x и tg x при этих значениях x имеют смысл. Проверкой убеждаемся, что эти значения неизвестного не являются корнями исходного уравнения.

Один корень полученного алгебраического уравнения очевиден: y = 0. Второй мы найдем на основании теоремы о рациональных корнях многочлена, испытав y = ±1; ± 1/2 . Убеждаемся, что y = - 1/2 — второй корень уравнения. Разделив многочлен 2y^3 - 7у^2 - 2y + 1 на 2y + 1, получим уравнение

y^2 - 4y + 1 = 0,

которое даст еще два корня: y = 2 + 3, y = 2 - 3.

Если tg ^x/₂ = 2 + 3, то

то же самое мы получим и при tg ^x/₂ = 2 - 3.

Так как и обратно из sin x =  1/2 следует, что

то совокупность уравнений tg ^x/₂ = 2 + 3 равносильна уравнению sin x = 1/2 . Получаем x

= k + (-1)^k/₆.

Ответ. 2k; k + (-1)^k /₆; 2k - 2 arctg 1/2 .

13.18. Понижением степени данное уравнение приводится к виду

2 cos x = 1 + cos ^3x/₂.

С помощью формул для косинуса двойного и тройного углов приходим к уравнению относительно y = cos ^x/₂:

4y^3 - y^2 - 3y + 3 = 0.

Левую часть легко разложить на множители:

4у^2(y - 1) - 3(y - 1) = 0,    (y - 1)(4у^2 - 3) = 0.

Если cos ^x/₂ = 1, то x₁, = 4n. Если 4 cos^2 ^x/₂ = 3, то cos x =  1/2 и x₂ = 2n ± /₃.

Ответ. 4n; 2n ± /₃.

13.19. Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:

Теперь придем к виду, удобному для логарифмирования, правую часть уравнения:

22(1 + sin 2x + cos 2x) = 42 cos x(sin x + cos x) = 8 cos x sin (/₄ + x). В итоге получаем уравнение

которое равносильно системе