Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Способ 2. Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно cos 3x:

cos^2 3x - cos 3x cos⁴ x +  1/4 cos^2 x = 0.

Следовательно,

Условие cos⁸ x - cos^2 x = cos^2 x (cos⁶ x - 1) >= 0 является следствием данного уравнения. Если cos^2 x = 0, то x = /₂ + k; эти значения x удовлетворяют первоначальному уравнению. Если же cos^2 x = 1, то исходное уравнение примет вид

cos^2 3x - cos 3x +  1/4 = 0, т. е. cos 3x = 1/2 .

Из первого условия cos^2 x = 1 находим x = k. Так как cos 3k /= 2 , то в этом случае решений мы не получаем.

На этом примере хорошо видно, что отказ от равносильных преобразований может позволить решить задачу проще и короче.

Ответ./₂ + n.

13.28. Данное уравнение равносильно системе

решая которую найдем ах = k и x = 2n. Приравнивая значения неизвестного, найденные из каждого уравнения, получим

^k/_a = 2n, т. е. ^k/_a = 2n.

Это в том случае, если а /= 0. Но если а = 0, данное уравнение примет вид cos x = 1 и, следовательно, имеет бесконечное множество корней.

Итак, k = 2nа.

Если а = ^p/_q — рациональное число, то k = ^2np/_q. Это значит, что при всех n, кратных q, мы будем получать корень данного уравнения x = 2n, т. е. уравнение имеет бесконечное множество корней.

Пусть теперь а — иррациональное число. Тогда при всех n, кроме

n = 0, k не будет целым, а уравнение будет иметь единственное решение x = 0.

Ответ.а — иррациональное.

13.29. Так как второе уравнение легко приводится к виду

sin (2x - y) = 0,

то y = 2x + k. После подстановки этих значений y в первое уравнение получим

4 tg Зх = 3 tg 4x, или 4 (tg 4x - tg Зх) = tg 4x.

Используя простые преобразования, приходим к равносильным уравнениям:

Выражение, стоящее в скобках, может обратиться в нуль лишь при условии, что cos x, cos 2x, cos Зх одновременно равны по абсолютной величине единице. Это означает, что непременно |cos x| = 1, т. е. корнями выражения, заключенного в скобки, могут быть лишь числа x = n, являющиеся также и корнями множителя sin x. (Обратите внимание на то обстоятельство, что здесь нельзя написать x = k, поскольку буква k уже занята в записи решения второго уравнения.)

Таким образом, все решения данной системы содержатся в системе чисел x = n, y = (2n + k), которую можно переписать так: x = n, y = k. Непосредственной подстановкой в исходную систему убеждаемся, что каждая пара из системы этих значений x и y является решением.

Ответ.x = k, y = n.

13.30. Преобразовав левую часть второго уравнения в разность косинусов, получим

cos (2y + x) = О, откуда 2y = 2 - x + kn.

Приведем теперь первое уравнение системы к виду, удобному для логарифмирования:

При подстановке в правую часть значения 2y, полученного ранее, придется рассматривать случаи k = 2p и k = 2p + 1.

Если k = 2p, то

2y = /₂ - x + 2p

и sin 2y

= cos x. Уравнение (1) преобразуется к виду

Если же k = 2p + 1, то

2y = /₂ - x +  + 2p = ³/₂ - x + 2p

и sin 2y = -cos x. Уравнение (1) теперь примет вид

Поскольку значения x, при которых cos x = 0, удовлетворяют как уравнению (2), так и уравнению (3), то значениям x = (2n + 1)/₂ соответствуют все целые значения k. Поэтому

2y = /₂ - x + k =  - n + k = (k - n + 1).

Так как k - n + 1 принимает все целые значения для любого фиксированного k, то можно обозначить k - n + 1 = p. Получаем систему решений

Остается приравнять нулю, выражения, стоящие в скобках в уравнениях (2) и (3).

Для уравнения (2) имеем

sin x + cos 2x = 0, cos 2x = cos (x + /₂),

откуда x₂ = (4n + 1)/₂, x₃ = (4n - 1)/₆. Получаем еще две системы решений (здесь k = 2p)

Для уравнения (3)

cos 2x - sin x = 0, cos 2x = cos (

/₂ - x),

откуда x₄ = (4n - 1)/₂, x₅ = (4n + 1)/₆. В этом случае k = 2p + 1, и мы находим еще две системы решений

Нетрудно заметить, что вторая и четвертая системы решений содержатся в первой.

Проверка не нужна. (Докажите.)

Ответ.

13.31. Перепишем систему в виде

Введем обозначения: sin x = u, sin y = v. Получим систему

Воспользуемся заменой v = ut:

откуда

5(t^2 - 3t) = 21 - t^2,

т. е.

2t^2 - 5t - 7 = 0, t₁ = ⁷/₂, t₂ = -1.

Если t = ⁷/₂, то из первого уравнения последней системы мы получим

u^2 = ⁴/₇; u ±²/₇; v = ut = ±²/₇ ⁷/₂ = ±7,

что невозможно, так как v = sin y.

Если же t = -1, то u^2 = 1/4 , u = ± 1/2 .

Приходим к совокупности двух систем

Ответ.

13.32. Второе уравнение можно преобразовать так:

sin y + sin (2x - y) = sin y,

т. е. sin (2x - y) = 0, откуда y = 2x + n. Подставим в первое уравнение системы

4 tg 3x = 3 tg 4x.

При условии что cos 3x /= 0 и cos 4x /= 0, это уравнение равносильно такому:

4 sin 3x cos 4x - 3 sin 4x cos 3x = 0,

или

sin 3x cos 4x - 3 (sin 4x cos 3x - sin 3x cos 4x) = 0,

sin 3x cos 4x - 3 sin x = 0.

Так как sin 3x cos 4x =  1/2 (sin 7х - sin x), то придем к уравнению

7 sin x = sin 7x.

По индукции можно доказать, что

sin пх = n|sin x|,

причем равенство достигается лишь при x = k. Следовательно, уравнение 7 sin x = sin 7х имеет решения x = k.

При этом cos 3x /= 0 и cos 4x /= 0.

Подставляя в выражение для y, получим y = n.

Ответ.x =k, y = k.

13.33. Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:

2 = sin^2 y + 5 cos^2 y,

откуда cos^2 y = 1/4 , т. е. cos y = ± 1/2 .