Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Условие sin x sin (/₄ - x) /= 0 подсказывает, что удобнее в левой части уравнения заменить sin 4x на его разложение, стоящее справа, чем наоборот. Сокращая после этого обе части уравнения на 8 sin x sin (/₄ - x) /= 0, получим уравнение

cos x cos (/₄ - x)[sin (/₄ + 2x) - 1] = 0.

Среди корней уравнений cos x = 0 и cos (/₄ - x) = 0 не может быть таких, при которых sin x sin (/₄ - x) = 0. Остается проверить корни уравнения sin (/₄ + 2x) = 1. Преобразуем вначале условие, которому они должны удовлетворять: sin x sin (/₄ - x) /= 0, или cos (/₄ - 2x) - cos /₄ /= 0, т. е. cos (/₄ - 2x) /= ¹/₂, или sin (/₄ + 2x) /= ¹/₂. Теперь ясно, что в уравнение sin (/₄ + 2x) = 1 не попали посторонние корни.

Ответ./

₂ + n; -/₄ + n; /₈ + n.

13.20. Перепишем данное уравнение в виде

т. е.

После возведения в квадрат (при этом могут появиться посторонние корни, для которых cos x 0) получим квадратное уравнение относительно y = cos x:

y^2 - 4у - 4 = 0,   т. е. y_1,2 = 2 ± 2 2.

Положительный корень заведомо посторонний. Остается

cos x = 2 - 2 2.

Ответ.x = (2n + 1) ± arccos |2( 2 - 1)|.

13.21. Так как sin 4x = 4 sin x cos x(2 cos^2 x - 1), то данное уравнение можно переписать в виде

sin x [4 cos x (2cos^2 x - 1) - ^m/_{cos x}] = 0.

Если sin x = 0, то x = k. Это — корни данного уравнения, поскольку cos k /= 0.

Если выражение в квадратных скобках равно нулю, то приходим к биквадратному уравнению

8 cos⁴ x - 4 cos^2 x - m = 0,

среди корней которого не должно быть cos x = 0.

Решая это биквадратное уравнение, получим

Так как m 0, то перед корнем берем знак плюс. (Очевидно, что при этом cos x /= 0). Воспользуемся формулой

и преобразуем уравнение к виду

Правая часть этого уравнения положительна. Поэтому, чтобы уравнение имело решение, достаточно

откуда m = 4.

Ответ. При m 0 уравнение имеет решение x = n; при 0 m

 = 4:

13.22. Раскроем скобки и применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:

Приведя подобные члены, получим

откуда

и

Ответ.

13.23. Так как

sin kх sin k^2x = 1 {cos [(k - 1)kx] - cos [k(k + 1)x]}, то уравнение можно переписать в виде

 откуда

Ответ.  где k = 0, +1, +2, ..., а натуральное n фиксировано.

13.24. Перенесем единицу в левую часть и запишем уравнение в виде

2 cos x - cos 2x - cos^2 2x = 0,

или

2 cos x - cos 2x (1 + cos 2x) = 0.

Выражение в скобках равно 2 cos^2 x. Поэтому

cos x (1 - cos x cos 2x) = 0.

Если cos x = 0, то x = /₂ + n.

Если cos x cos 2x = 1, то

Второе уравнение первой системы преобразуется к виду 2 cos^2 x - 1, т. е. cos^2 x = 1. Следовательно, cos x = 1 и x = 2n.

Для второй системы аналогично получим cos^2 x = 0, что несовместно с первым уравнением cos x = -1.

Ответ./₂ + n; 2n.

13.25. Данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем

Первая система может быть переписана так:

откуда

(Для k и n берутся только неотрицательные значения.) Приравнивая различные выражения для x, получим k^2 = n^2 + 1, откуда (k - n)(k + n) = 1. Так как k и n — целые и неотрицательные, то

и, следовательно k = 1, n = 0.

Теперь x определяется однозначно: x = 4.

Решаем вторую систему:

где k, n = 0, 1, 2, ... .

Приравнивая правые части последней системы, получим

(2k + 1)^2 - (2n + 1)^2 = 4, или (k - n)(k + n + 1) = 1.

Так как n и k — целые и неотрицательные числа, то последнее уравнение равносильно системе

которая не имеет целых решений.

Ответ. 4.

13.26. Данное уравнение можно переписать в виде

sin^3 x + cos^3 x = sin^2 x + cos^2 x,

откуда

sin^2 x (1 - sin x) + cos^2 x (1 - cos x) = 0.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

Если в первом уравнении sin x = 0, то cos x /= 0. Получаем систему решения которой: x = 2k.

Если в первом уравнении 1 - sin x = 0, т. е. sin x = 1, то cos x /= 1. Приходим к системе

решения которой: x = ^(4k + 1)/₂

.

Ответ. 2k; ^(4k + 1)/₂.

13.27. Способ 1. Дополним левую часть данного уравнения до полного квадрата. Для этого придется ввести еще одно слагаемое: cos x cos 3x, знак которого зависит от знака cos x, так как из данного уравнения следует, что cos 3x >= 0.

Рассмотрим три случая.

1. Если cos x 0, то перепишем данное уравнение в виде

cos^2 3x +  1/4 cos^2 x - cos x cos 3x = cos 3x cos⁴ x - cos 3x cos x,

или

(cos 3x - 1/2 cos x)^2 + cos x cos 3x (1 - cos^3 x) = 0.

В левой части стоит сумма неотрицательных выражений, следовательно,

По предположению cos x 0. Из первого уравнения последней системы следует, что тогда cos 3x 0. Заметим, что

1 - cos^3 x = (1 - cos x)(1 + cos x + cos^2 x),

причем всегда 1 + cos x + cos^2 x 0. В итоге приходим к системе

которая несовместна, так как при cos x = 1 мы получим cos 3x = 1, а не 1/2 .

2. Если cos x = 0, то cos 3x = 4 cos^3 x - 3 cos x = 0, и данное уравнение удовлетворяется. Получаем совокупность корней: x = /₂ + n.

3. Если cos x 0, то преобразуем уравнение к виду

(cos 3x +  1/2 cos x)^2 + cos 3x cos x (-1 - cos^3 x) = 0,

в котором снова оба слагаемых неотрицательны. Аналогично случаю 1, это приводит нас к несовместной системе (закончить исследование самостоятельно).