Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

9.14. Уравнение x² + y² = а при а < 0 не имеет решений. Если а ≥ 0, то это — уравнение окружности радиуса √a с центром в начале координат. Второе уравнение определяет стороны квадрата, диагонали которого равны 2 и расположены на осях координат (рис. P.9.14).

При увеличении а окружность будет увеличиваться и сначала окажется вписанной в квадрат, затем пересечет его в восьми точках и, наконец, будет описана около квадрата.

Итак, если √а < ^√2/₂, то система не имеет решений.

Если √а = ^√2/₂, т. е. а = ½, получим четыре решения: x = ½, y = ½ и три симметричных: (−½, ½), (−½, −½), (½, ½).

Если ½ < а < 1, то восемь решений. Мы найдем их, возведя первое уравнение в квадрат и получив с помощью второго уравнения, что |x| · |y| = ^{1 − a}/₂. B результате придем к системе

которая при положительных x и y имеет два решения:

К этим решениям нужно добавить шесть симметричных.

Если а = 1, то y системы четыре решения: x₁ = 1, y₁ = 0; x₂ = 0, y₂ = 1; х₃ = −1, у₃ = 0; х₄ = 0, у₄ = −1. При а > 1 решений нет.

9.15. Если либо x = 0, либо y = 0, то второе неизвестное тоже равно нулю. Получаем очевидное решение

x₁ = 0, y₁ = 0.

Если ху ≠ 0, то можно первое уравнение разделить на ху, а второе — на x²y². Получим систему

Введем обозначения:

x + ¹/_x = u, y + ¹/

_y = v.

Возводя каждое из этих равенств в квадрат, получим x² + ¹/_x² = u² − 2, y² + ¹/_y² = v² − 2.

Система примет вид

Решая ее, найдем: u₁ = 4, v₁ = 14; u₂ = 14, v₂ = 4. (Если первое уравнение возвести в квадрат и сравнить со вторым, то получим uv = 56.) Остается решить две системы:

в результате чего получим восемь решений.

Ответ. (0, 0); (2 + √3, 7 + 4√3); (2 + √3, 7 − 4√3); (2 − √3 , 7 + 4√3 ); (2 − √3, 7 − 4√3 ); (7 + 4√3 , 2 + √3); (7 + 4√3, 2 − √3); (7 − 4√3, 2 + √3); (7 − 4√3, 2 − √3).

9.16. Способ 1. Из первого уравнения находим

y − z = ху − x.

Подставляя во второе, получим

xz = 2(x − ху + x), т. е. xz = 2x(2 − y).

Если x = 0, то система принимает вид

Получаем два решения системы:

x₁ = 0, y₁ = 0, z₁ = 0;

x₂ = 0, y₂ = 6, z₂ = 6.

Если x ≠ 0, то z = 2(2 − y). Подставляем во второе и третье уравнения

Подставим x из первого уравнения во второе:

7у − 2у² = −3ху + 9у.

Если y = 0, то получаем еще одно решение:

x₃ = 4, y

₃ = 0, z₃ = 4.

Если y ≠ 0, то 3x − 2y = 2, откуда x = ^2(y + 1)/₃. Подставляем в первое уравнение последней системы уравнение, которое превращается в квадратное относительно y:

2у² − 9у + 10 = 0,

откуда y₄ = 2, y₅ = 3 . Делаем проверку.

Способ 2. Запишем систему в виде

и сделаем три парных сложения

Отсюда находим решения:

а) x = y = z = 0;

б)

в) если x = 0, то  y = z = 6;

г) если y = 0, то

д) если z = 0, то

Ответ. (0, 0, 0); (0, 6, 6); (4, 0, 4); (2, 2, 0); ( ⁷/₃, ⁵/₂, −1).

9.17. Возведем уравнение x + y = −z в квадрат:

x² + y² + 2ху = z²,

и сравним со вторым уравнением системы; найдем ху = −10.

Преобразуем сумму x⁴ + y⁴ из третьего уравнения следующим образом:

x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² − 2x²y² = (20 + z²)² − 200,

где на последнем шаге были использованы второе уравнение системы и найденное значение для ху. Подставив это выражение в третье уравнение системы, получим

z² = 9, т. е. z = ±3.

Остается решить каждую из систем:

Производим проверку.

Ответ. (−2, 5, −3); (5, −2, −3); (2, −5, 3); (−5, 2, 3).

9.18. Третье уравнение можно записать так:

(x + y)(x² − ху + y²) + (z − 1)(z² + z + 1) = 0.

Из первого уравнения мы знаем, что x + y = 1 − z. Поэтому

(1 − z)(x² − ху + y² − z² − z − 1) = 0.

Если z = 1, то x + y = 0. Тогда из второго уравнения получим ху = −4. B итоге — два решения:

x₁ = 2, y₁ = −2, z₁ = 1;

x₂ = −2, y₂ = 2, z₂ = 1.

Если же 1 − z ≠ 0, то

x² − ху + y² − z² − z − 1 = 0. (3)

Чтобы упростить уравнение (3), снова воспользуемся тем, что x + y = 1 − z, а потому

x² + 2ху + y² = 1 − 2z + z². (4)

Вычитая уравнение (4) из уравнения (3), получим

ху = −z.

Теперь второе уравнение исходной системы

ху + z(x + y) = −4

можно переписать как уравнение относительно z

−z + z(1 − z

) = −4.

Решая его, найдем, что либо z = −2, либо z = 2. B первом случае мы приходим к системе

Во втором случае получаем

После того как были найдены первые два решения, решение системы можно было закончить следующим рассуждением.

Данная система симметрична относительно x, y и z. Поэтому одно ее решение (2, −2, 1) порождает 3! = 6 решений, получающихся в результате всевозможных перестановок. Таким образом, мы получим шесть различных решений системы.

С другой стороны, можно доказать, что система может иметь не больше решений, чем произведение степеней ее уравнений: 1 · 2 · 3 = 6. Поскольку все шесть решений найдены, решение системы можно считать законченным, если проверить одно из найденных решений.

Ответ. (2, −2, 1); (−2, 2, 1); (1, 2, −2); (2, 1, −2), (−2, 1, 2); (1, −2, 2).

9.19. Рассмотрим многочлен M(t) = (t − x)(t − y)(t − z) + d. Его корнями по условию являются не совпадающие друг с другом числа а, b и с, следовательно,

M(t) = (t − а)(t − b)(t − с), или (t − а)(t − b)(t − с) ≡ (t − x)(t − y)(t − z) + d.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, найдем

x + y + z = а + b + с = u,

ху + хz + уz = ab + ас + bc = v,

xyz = аbс + d = w