Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

9.6. Введем новые неизвестные:

Получим систему

Обозначим u + v = p. Так как в силу первого уравнения системы u − v = 1, то u = ^p + 1/₂, v = ^p − 1/₂. Второе уравнение системы примет вид

(^{p + 1}/₂)⁵ − (^p − 1/₂)⁵ = 31, 

или после очевидных упрощений

р⁴ + 2р² − 99 = 0.

Это биквадратное уравнение имеет два действительных корня р₁ = −3, р₂ = 3. Зная р₁ и р₂, найдем u₁ = −1, u₂ = 2, откуда получим два уравнения для определения значений x:

x² − 34x + 32 = 0, x² − 34x + 65 = 0.

Решив эти уравнения, найдем четыре корня.

Ответ.

9.7. Введем новые неизвестные:

т. е. u⁴ + v⁴ = а − b.

Получаем систему

Заменяя во втором уравнении а − b на u⁴ + v⁴, получим

откуда

u⁵ + v⁵ − uv⁴ − и⁴v = 0, где u + v ≠ 0,

т. е.

u⁴(u

− v) − v⁴(u − v) = 0,

а потому

(u − v)²(u² + v²)(u + v) = 0.

Так как последние два множителя в нуль обратиться не могут, то остается и = v, т. е. а − x = x − b, и, следовательно,

x = ^а + b/₂.

Проверкой убеждаемся, что это — корень исходного уравнения, если а > b.

Ответ. При а > b имеем x = ^а + b/₂.

9.8. Обозначив  получим систему уравнений

Вычитаем из первого уравнения второе:

x + y = (y − x)(x + y).

Если x + y = 0, то x = y = 0, поскольку и x, и y неотрицательны. Так как  то из x = y = 0 следует, что а = 0. Проверкой убеждаемся, что найден корень данного уравнения.

Если x + y ≠ 0, то y − x − 1 = 0, откуда  и x² + x + 1 − а = 0. Решая квадратное уравнение, найдем  Остается исследовать, при каких значениях а эти корни вещественны и удовлетворяют исходному уравнению.

Во-первых, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным, т. е. а ≥ ¾ .

Во-вторых, корень данного уравнения не должен быть отрицательным. Один из корней  при всех а ≥ ¾ отрицателен, а потому не подходит. Другой корень  больше или равен нулю, если  т. е. а ≥ 1.

Проверкой убеждаемся, что  удовлетворяет первоначальному уравнению. B самом деле, подставляя x₁ в это уравнение, получим  что выполняется одновременно с равенством  так как x ≥ 0. Значение х₁ было найдено из уравнения  Поэтому можно осуществить в полученном нами равенстве соответствующую замену:

a − 1 − x₁ = x₁².

Так как в результате мы пришли к уравнению, из которого определили х₁

, то проверку можно считать законченной.

Ответ.x = 0, если а = 0, и  если а ≥ 1.

9.9. Перенесем  в правую часть уравнения:

и возведем обе части в квадрат. Получим

откуда при а ≠ 0

Делаем проверку, подставляя найденное значение x в данное уравнение. B левой части получим

Чтобы вычислить это выражение, нужно рассмотреть четыре различных случая, так как значения −1, 0, +1 параметра а разбивают числовую ось на четыре интервала. Однако легко заметить, что а > 0, так как разность, стоящая в левой части исходного уравнения, всегда положительна. Следовательно, остается рассмотреть только два случая.

Если 0 < а ≤ 1, то

Если же а > 1, то

Число ¹/_а равно числу а только при а = ±1, а по предположению а > 1.

Ответ. если 0 < а ≤ 1.

9.10. Рассмотрим два случая.

Если 2x² − 3x − 2 ≥ 0, т. е. x ≤ −½, x ≥ 2, получим уравнение

4х² + 5х − 2(1 + β) = 0.

Корни этого уравнения  должны лежать вне интервала (−½, 2).

Неравенство

удовлетворяется при β ≥ −⁵⁷/₃₂. Больше двух этот корень быть не может.

Для x₂ нужно решить два неравенства:

Первое выполняется при −⁵⁷/₃₂ ≤ β ≤ −⁷/₄, а второе — при β ≥ 12.

Пусть теперь 2x² − 3x − 2 < 0, т. е. −½ < x < 2. Данное уравнение станет линейным и мы найдем

x₃ = ^{2(β − 1)}/₁₁.

Решим неравенство

−½ < ^{2(β − 1)}/₁₁ < 2

и получим

−⁷/₄ < β < 12.

Итак, при β = −⁵⁷/₃₂ корни х₁ и х₂ совпадают, а корень х₃ не существует, т. е. уравнение имеет единственное решение x = −⁵/₈. Если −⁵⁷/₃₂ < β ≤ −⁷/₄, то уравнение имеет два решения: х₁ и х₂ (которые, очевидно, различны); если −⁷/₄ < β ≤ 12, то х₁

и х₃; а если β ≥ 12, то два решения: х₁ и х₂.

Корни х₁ и х₃ различны, так как −½ < х₃ < 2, а х₁ лежит вне этого интервала.

Ответ. β = −⁵⁷/₃₂.

9.11. Если x ≥ 0, y ≥ 0, то получим систему

Если x ≥ 0, y ≤ 0, то

Если x ≤ 0, y ≥ 0, то

Если x ≤ 0, y ≤ 0, то

Каждое из четырех решений удовлетворяет записанным ограничениям.

Ответ. (2, 1); (0, −3); (−6, 9); (0, −3).

9.12. Исключая последовательно y и x, найдем

x = ^k + 16/₇, y = ^{8 − 3k}/₇.

Остается решить систему неравенств

Первое неравенство равносильно такому:

(k + 8 + √71 )(k + 8 − √71 )k > 0.

Приходим к системе

Так как −8 + √71 < ⁸/₃, то условию задачи удовлетворяют два интервала.

Ответ. −8 − √71 < k < 0; −8 + √71 < k < ⁸/₃.

9.13. Если x ≥ −у и x ≥ y, то получим системы

которая при x ≥ −у и x ≥ y имеет решение

x ≥ ^|a|/₂, y = ^а/₂

при условии а = −b.

Если x ≥ −у, но x ≤ y, то

Из условия x ≥ −у находим −^b

/₂ ≥ −^а/₂, а из второго условия: −^b/₂ ≤ ^а/₂. Оба этих неравенства соответствуют условию а ≥ |b|.

Если x ≤ −у, а x ≥ y, то

Подставляя найденные значения x и y в ограничения, получим b ≥ |а|.

Наконец, если x ≤ − у, x ≤ y, получим

Это значит, что а = b. Так как y ≥ x, но y ≤ −х, то −x ≥ 0. Окончательно получим при а = b ≥ 0

x = −^а/₂, −^а/₂ ≤ y ≤ ^а/₂.

Ответ. При а = −b, x ≥ ^|а|/₂, y = ^а/₂; при а ≥ |b|, x = −^b/₂, y = ^а/₂; при b ≥ |a|, x = −^а/₂, y = −^b/₂; при а = b ≥ 0, x = −^а/₂, −^а/₂ ≤ y ≤ ^а/₂.