Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Поскольку в первой системе x = 1, то x ≠ 2; остается обеспечить, чтобы а − 1 ≥ 0, т. е. а ≥ 1.

Итак, при каждом а ≥ 1 есть решение x = 1, а при каждом x ≠ 2 есть решение x = а. (При а = 1 эти решения совпадают.)

Решение второй системы при а ≠ 2: x = а. Остается объединить решения неравенства (3) и уравнения (4).

Ответ. При а ≤ 1 имеем x = а; при 1 < а < 2 имеем 1 ≤ x ≤ а; при а = 2 имеем 1 ≤ x < 2; при а > 2 имеем 1 ≤ x ≤ 2, x = а.

10.50. Поскольку

х² + 8х + 15 = (x + 3)(x + 5),   а x² + 7х + 10 = (x + 2) (x + 5),

то данное неравенство можно записать в виде

(x + 5)[(x + 3) · 2^{2 + x} − (2 + x)] > 0. (5)

При x + 5 = 0 исходное неравенство не удовлетворяется. Поэтому (5) равносильно совокупности двух систем:

Далее придется рассмотреть случаи x + 3 < 0 и x + 3 > 0 (при x + 3 = 0 неравенство (3) удовлетворяется!). Располагая точки x = −5 и x = −3 на числовой оси, мы получим три интервала x < −5; −5 < x < −3;

x > −3. Соответственно, приходим к совокупности трех систем неравенств:

Построим графики функций

y₁ = 2^{2 + x}, y₂ = 1 − ¹/_x + 3

(рис. P.10.50).

Просто сослаться на график и указать интервалы решений нельзя. График подскажет, какие сравнения нужно привести для решения неравенства.

При всех x < −5 получим, что y₂ > 1, а y₁ < 1, т. е. y₁ < y₂: второму неравенству первой системы значения x < −5 не удовлетворяют.

При −5 < x < −3 также y₁ < 1, а y₂ > 1 и снова y₁ < y₂. Однако на этот раз второе неравенство второй системы удовлетворяется.

При x > −3 второе неравенство третьей системы вновь удовлетворяется. В самом деле, при −3 < x < −2, y₁ > 0, а y₂ < 0, т. е. y₁ > y₂. Далее при x ≥ −2 имеем у₁ ≥ 1, 0 < y₂ < 1, т. е. снова у₁ > y₂. Остается вспомнить, что x = −3 было решением (5).

Ответ.

x ∈ (−5; +∞).

10.51. Ясно, что подставлять интересующие нас значения x в данное неравенство и проверять, удовлетворяется ли это, не нужно. Проще это неравенство решить. Так как lg 5 ≠ ½, то |0,5 − lg 5| > 0, т. е.

Любое число а ^ 0 можно записать в виде а = |а| sign а, где

— функция, соответствующая знаку числа а. Поэтому из (6) получаем

Определим теперь знак выражения

0,5 − lg 5 = lg √10 − lg 5 = lg ^√10/₅ < lg ⁴/₅ < lg 1 = 0.

Следовательно, sign (0,5 − lg 5) = −1, т. е. решением неравенства (6) будут значения x ≤ −1.

Ответ. −4, −1.

10.52. Так как (√5 + 2)(√5 − 2) = 1, то данное неравенство можно преобразовать к виду

(7)

Знаменатель всегда положителен, если x ≥ 0. Требование x ≥ 0 сохраняется, если существует числитель. Поэтому (7) равносильно неравенству

(√5 − 2) ^{x + √x − 6} ≤ 1. (8)

Поскольку 0 < √5 − 2 < 1, то (8) равносильно неравенству

x + √x − 6 ≥ 0. (9)

Трехчлен y² + y − 6 (где y = √x) имеет корни −3 и 2. Поэтому решением неравенства

y² + y − 6 ≥ 0

будет совокупность значений y ≤ −3, y ≥ 2. У неравенства √x ≤ −3 решений нет. Остается √x ≥ 2, т. е. x ≥ 4.

Ответ. [4, +∞).

10.53. Обозначим log₂x = y и запишем неравенство в виде

1 + y² ≤ |y| (4x − x² − 2),

или

1 + y² ≤ |y| [−(

x² − 4x + 4) + 2],

т. е.

1 − 2|y| + |y²| ≤ |y|(−x² + 4x − 4).

Итак,

(1 − |y|)² ≤ −|y|(x − 2)².

Неравенство удовлетворяется только в том случае, если обе его части равны нулю. Это может быть только при |y| = 1, тогда (x − 2)² ≤ 0, т. е. x = 2.

Ответ. 2.

Глава 11

Логарифмические и показательные уравнения и системы

11.1.

11.2. Так как 1225 = 35², то

lg 122,5 = lg 35² − lg 10 = 2(lg 5 + lg 7) − 1 = 2(а + b) − 1.

11.3. Перепишем уравнение в виде

т. е. после того как вынесем 3^{2x − 1} и 2^x + ½ за скобки,

Из последнего уравнения следует, что

3^{2x − 3} = (√2)^2x − 3,

т. е. (³/_√2)^2x − 3 = 1, откуда 2x − 3 = 0.

Ответ.x = ³/₂.

11.4. Обозначив 3^−|x − 2| = y, придем к квадратному уравнению

y² − 4y − а = 0,

корни которого

Первый корень  приходится отбросить, так как −|x − 2| ≤ 0 и 3^−|x − 2| ≤ 1, а  не может стать меньше двух.

Исследуем второй корень:

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение трех условий, которые сведены в систему неравенств:

Решая эту систему, найдем −3 ≤ а

< 0.

Ответ. При −3 ≤ а < 0 два решения:

при остальных а решений нет.

11.5. Решая квадратное уравнение относительно 12^|x|, найдем

Первое ограничение: 1 − а ≥ 0, т. е. а ≤ 1. Кроме того, 12^|x| не может стать меньше единицы. Если перед корнем выбран знак плюс, то последнее требование выполняется, если же взят знак минус, то лишь при а = 1. Это значение а можно учесть при рассмотрении уравнения

Ответ. при а ≤ 1; при остальных а решений нет.

11.6. Уравнение можно записать так:

или

Прологарифмируем по основанию 10

откуда x₁ = 2, x₂ = −¹/_{lg 5}.

Ответ. 2, −¹/_{lg 5}.

11.7. Так как (2 + √3)(2 − √3) = 1, то 2 + √3 и 2 − √3 — взаимно обратные числа. Обозначим

(2 + √3)^{x² − 2x} = y.

Тогда данное уравнение можно записать так:

y + ¹/_y = ¹⁰¹/₁₀

(мы разделили обе части уравнения на 2 + √3).

Решая это уравнение, найдем

y₁ = ¹/₁₀, y₂ = 10.

Покажем, что первый корень, который приводит к уравнению

(2 + √3)^{x² − 2x} = ¹/₁₀,

посторонний.