Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

откуда n < ¹/₅, n > 1, или n ≠ 1. Мы получили бесконечное множество значений x. Чтобы выбрать из них подходящие, разберем два случая, в зависимости от того, четное или нечетное число n. Когда n = 2k, данное неравенство можно переписать в виде |x|^2k < 1, т. е. (|x| − 1)k < 0. Поскольку x < 0, то получаем (x + 1)k > 0. Так как x = ^20k − 2/_{5 − 10k}, то

откуда k < −³/₁₀, 0 < k < ½. Так как k — целое, то k = −1, −2, −3, ... . Получаем серию решений первоначального неравенства: x = ^20k − 2/_{5 − 10k}, k = −1, −2, −3, ... .

Пусть теперь n = 2k + 1. Тогда x = ^10(2k + 1) − 2/_{5 − 5(2k} + 1) = −^10k + 4/_5k. Так как x < 0, то исходное неравенство при этих значениях n удовлетворяется, если n ≠ 1, т. е. k ≠ 0.

Ответ. 0 ≤ x < 1, x = ^20k − 2/_{5 − 10k}, k = −1, −2, −3, ...; x = −^10k + 4/

_5k, k = ±1, ±2, ±3, ... .

10.33. Данное неравенство эквивалентно неравенству

0 ≤ log₂ ^{3 − 2x}/_{1 − x} < 1.

(Ограничение слева обеспечивает неотрицательность числа, стоявшего под знаком квадратного корня.)

Поскольку 0 = log₂ 1, 1 = log₂ 2 и основание логарифмов больше единицы, последнее неравенство можно записать так:

1 ≤ ^{3 − 2x}/_{1 − x} < 2.

Требование положительности числа ^{3 − 2x}/_{1 − x}, которое могло быть нарушено при таком преобразовании, выполняется здесь автоматически.

Поскольку неравенство 1 ≤ y < 2 эквивалентно неравенству ^y − 1/_y − 2 ≤ 0, получаем

Ответ.x ≥ 2.

10.34. Данное неравенство равносильно системе

0 < |^{x − 1}/_2x + 1| < 1.

Тем самым мы обеспечили положительность числа, стоявшего в условии под знаком логарифма. Левое неравенство можно заменить условием x ≠ 1. Тогда получим систему

Эту систему можно преобразовать так:

Входящее в эту систему неравенство можно возвести в квадрат, не нарушая его равносильности:

(x − 1)² < (2x + 1)²,

т. е. 3x² + 6х > 0, откуда x < −2, x > 0. Итак,

Ответ.x < −2, 0 < x < 1, x > 1.

10.35. Приведем все логарифмы, участвующие в неравенстве, к основанию 5:

Последнее из преобразований правой части неравенства требует, вообще говоря, ограничения x ≠ 1. Однако это значение неизвестного оказывается «запретным», поскольку в левой части остается выражение, содержащее log₅ x в знаменателе. Получаем равносильное неравенство

которое преобразуется к виду

допускающему применение метода интервалов. Итак,

log₅ x < −½, 0 < log₅ x < log₅ 3.

Ответ. 0 < x < ¹

/_√5, 1 < x < 3.

10.36. Так как log_½ N = −log₂ N, то данное неравенство перепишем в виде

log₂ (2^x − 1)log₂ (2^x + 1 − 2) < 2.

Преобразуем второй сомножитель:

log₂ (2^x + 1 − 2) = log₂ [2(2^x − 1)] = 1 + log₂ (2^x − 1).

Обозначив log₂ (2^x − 1) = y, получим квадратное неравенство

y(y + 1) < 2, или y² + y − 2 < 0,

решения которого лежат в интервале

−2 < y < 1.

Вспоминая, чему равен y, получим

−2 < log₂ (2^x − 1) < 1,

¼ < 2^x − 1 < 2, ⁵/₄ < 2^x < 3.

Ответ. log₂ 5 − 2 < x < log₂ 3.

10.37. Преобразуем левую часть неравенства:

Неравенство

log_{|x + 6|} (х² − x − 2) ≥ 1

равносильно совокупности двух систем

Второе неравенство первой системы равносильно совокупности систем решая которые найдем

x ≤ −2, x ≥ 4.

Таким образом, первая система может быть приведена к виду

и ее решениями будут интервалы:

x < −7, −5 < x ≤ −2, x ≥ 4.

Решая второе неравенство второй системы, получим −2 ≤ x ≤ 4, а третье неравенство имеет решения x < −1, x > 2. Следовательно, система принимает вид

т. е. не имеет решений.

Ответ.x < −7, −5 < x ≤ −2, x ≥ 4.

10.38. Обозначим log_а x = y. Неравенство примет вид

^{1 + y²}/_{1 + y} > 1.

Так как 1 + y² > 0, то и 1 + y > 0. Поэтому данное неравенство равносильно системе

т. е.

Получаем два интервала решений:

−1 < y < 0, y > 1.

Так как y = log_а x, то нужно рассмотреть два случая.

Во−первых, если а > 1, то log_а x − функция возрастающая и мы получим два интервала решений:

¹/_a < x < 1, x > а.

Если же 0 < а < 1, то получим другие два интервала решений:

1 < x < ¹/_a, 0 < x < а.

Ответ. При а > 1: ¹/_a < x < 1, x > а; при 0 < а

< 1: 0 < x < а, 1 < x < ¹/_a.

10.39. Перейдем к основанию k:

где y = log_k x. Последнее неравенство можно переписать так:

Выражение, стоящее в числителе, всегда положительно. Поэтому решением неравенства будут два интервала:

y < −1, y > 0.

Вспоминая, что y = log_k x и 0 < k < 1, найдем соответствующие интервалы для x.

Ответ. 0 < x < 1, x > ¹/_k.

10.40. Поскольку 4^x − 6 должно быть больше нуля, то x > 1. Следовательно, приходим к системе неравенств

Решая второе неравенство системы, найдем x > log₂ √7.

Третье неравенство перепишем в виде системы

решением которой будет интервал log₂ √6 < x ≤ log₂3. Так как log₂ √7 > log₂ √6, то получим решение данного неравенства.

Ответ. log₂ √7 < x ≤ log₂ 3.

10.41. Данное неравенство эквивалентно такому:

Знаменатель всегда положителен. Поэтому

|х² − 4x| + 3 ≥ x² + |x − 5|,

остается раскрыть знаки абсолютной величины. Нанесем точки 0, 4, 5 на числовую ось и рассмотрим четыре случая.

Если x < 0, то получаем систему

которой удовлетворяет полупрямая x ≤ −⅔.

Если 0 ≤ x ≤ 4, приходим к системе

решением которой будет отрезок 1 < x < 2.