Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Так как 2 + √3 > 1, то x² − 2x < 0. Выражение x² − 2x достигает своего минимума в точке x = 1. Этот минимум равен −1. Поскольку 2+ √3 < 4, то в левой части последнего уравнения стоит число, большее ¼, а следовательно, ни при каких x не равное ¹/₁₀.

Остается решить уравнение

(2 + √3)^{x² − 2x} = 10.

Прологарифмируем его по основанию 2 + √3:

x² − 2x − log_{2 + √3} 10 = 0.

Ответ.

11.8. Перепишем уравнение так:

Сразу же видно, что x = 2 — корень уравнения. Покажем, что других корней нет.

Обозначим для удобства первое основание через а, а второе через b. Оба этих основания меньше единицы. Поэтому

b < а < 1;

если x < 2, то а^x > а², b^x > b², и следовательно,

а^x + b^x > 1;

если же x > 2, то а^x < а², b^x < b², и следовательно, а^x + b^x < 1.

Ответ.x = 2.

11.9. Если x − 2 ≠ 0, 1, −1, то log₂ (x + 31) = 3, x = −23. При x = 2 = 0, т. е. x = 2, имеем , и так как log₂31 > 0, то уравнение удовлетворяется.

При x − 2 = 1, т. е. x = 3, уравнение также удовлетворяется.

Если x − 2 = −1, т. е. x = 1, имеем

Остается проверить значение x = −23. Тогда log₂ 8 = 3, и уравнение снова удовлетворяется.

Ответ. −23, 1, 2, 3.

11.10. Так как log₃ (3^x + 1 − 3) = 1 + log₃ (3^x − 1), то, обозначив log

₃ (3^x − 1) через y, получим

y² + y − 6 = 0,

откуда y₁ = −3, y₂ = 2.

Если log₃ (3^x − 1) = −3, то 3^x = ²⁸/₂₇ и x₁ = log₃ 28 − 3. Если log₃ (3^x − 1) = 2, то 3^x = 10 и x₂ = log₃ 10.

Ответ. log₃ 28 − 3, log₃ 10.

11.11. Перепишем уравнение в виде

log₇ x + log_x 7 = log²₇ x + log²_x 7 − ⁷/₄.

Дополним правую часть его до полного квадрата суммы (заметим, что log₇ x · log_x 7 = 1) и обозначим

log₇ x + log_x 7 = y.

Получим уравнение:

4у² − 4у − 15 = 0, откуда у₁ = ⁵/₂, y₂ = −³/₂.

Если log_x 7 + log₇ x = ⁵/₂, то

Если же log_x 7 + log₇

x = −³/₂, то получим уравнение

y которого нет действительных корней.

Ответ.x₁ = 49, x₂ = √7.

11.12. Прологарифмируем по основанию 3 и перейдем к общему основанию логарифмов:

откуда следует уравнение

y³ − 2y + 1 = 0,

где y = log₃ x.

Так как у³ − 2y + 1 = (y − 1)(y² + y − 1), то

y₁ = 1, y_2,3 = ^{−1 ± √5}/₂.

Находим соответствующие x и проверяем их.

Ответ.x₁ = 3, x_2,3 = 3.

11.13. Если

y = log_х 3,

то придем к уравнению

из которого получается цепочка следствий

Проверкой убеждаемся, что второе значение y не удовлетворяет исходному уравнению, так как y должен быть отрицательным.

Ответ.x = ¹/₉.

11.14. Приведя уравнение к общему знаменателю и отбросив его, получим следствие данного уравнения:

log₄ x + log₄(10 − x) = 2,

откуда

x² − 10x + 16 = 0, x₁ = 2, x₂ = 8.

Проверкой убеждаемся, что это — корни исходного уравнения.

Ответ.x

₁ = 2, x₂ = 8.

11.15. Перепишем данное уравнение так:

При этом преобразовании мы могли потерять корень, так как при x = 1 левая часть полученного уравнения теряет смысл, в то время как обе части исходного уравнения существуют. Проверкой убеждаемся, что x = 1 — корень данного уравнения[21].

Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и обозначим log_x 2 = y:

¹/_{1 − y} − ²¹/_4y + 1 + ¹⁰/_2y + 1 = 0.

Это уравнение равносильно системе

При y = −2 и y = ½, являющихся корнями уравнения, условие, входящее в систему, удовлетворяется.

Ответ.x₁ = 1, x₂ = ¹/_√2, x₃ = 4.

11.16. Перепишем уравнение в виде

Так как

то придем к уравнению

log₂ 6 − log₂ (4 − x) = log₂ (3 + x),

откуда

х² − x − 6 = 0, x₁ = −2, x₂ = 3.

Все применявшиеся преобразования приводили к следствию исходного уравнения. Первый корень при проверке отбрасываем, так как  при x = −2 не существует.

Ответ.x = 3.

11.17. Уравнение равносильно системе

или

Решим уравнение, после чего проверим, выполняются ли наши ограничения. Уравнение распадается на два. Если

x⁴ + 2x³ + 2x − 1 = (х² + x − 1)²,

то, раскрывая скобки, получим

х² + 4x − 2 = 0, x_1,2 = −2 ± √6.

Если же

x⁴ + 2x³ + 2x − 1 = −(х² + x − 1)²,

то

x²(2x² + 4x − 1) = 0; x₃ = 0, x_4,5 = ^{−2 ± √6}/₂.

Остается проверить выполнение двух условий, входящих в последнюю систему. Лишь при x = 0 нарушается условие |х² + x − 1| ≠ 1. При остальных найденных значениях x оба условия выполняются.

Ответ.x_1,2 = −2 ± √6; x_3,4 = ^{−2 ± √6}/₂.

11.18. Преобразуем первое слагаемое:

При переходе к логарифмам с основанием а мы наложили на а дополнительное ограничение: а ≠ 1. Однако при а = 1 данное нам уравнение не имеет решений, и, следовательно, такое ограничение несущественно. При замене  на x могут быть введены посторонние корни x < 0.

Мы получили уравнение относительно :

y² − 5у + 6 = 0; y₁ = 2, y₂ = 3,

откуда

Ответ. При

11.19. Логарифмируя и заменяя log_x а на, получим

т. е.

Отсюда видно, что если x удовлетворяет этому уравнению, то log_a x > 0, а потому log_a x + 1 > 0. Следовательно,

Чтобы разбирать меньшее количество различных случаев, оценим левую часть последнего уравнения и, следовательно, а. Так как

а второе слагаемое неотрицательно, то а > 1 (значение а = 1 мы исключили, так как а — основание логарифма). Остается рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть символ абсолютной величины.

При log_a x ≥ 1, т. е. при x ≥ а > 1, получим уравнение

Так как а > 1, то x > а.