Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Так как при x = 2kπ и x = ^π/₄ + kπ условие sin² x ≠ 1 выполняется, то найденные значения x являются корнями данного уравнения.

Ответ.x = 2kπ; x = ^π/₄ + kπ.

13.3. Поскольку

 мы приходим к уравнению

Левая и правая части этого уравнения содержат общий множитель ^{1 − cos x}/_{1 − sin x}. Поэтому уравнение можно записать в виде

Первые корни получаем из уравнения cos x = 1, откуда x = 2kπ.

Остальные корни найдем, приведя к общему знаменателю дроби, стоящие в скобке, и выполнив вычитание. Получим уравнение

Числитель легко разложить на множители, если сгруппировать однородные члены:

(sin² x − cos² x) + sin x cos x (sin x − cos x) = (sin x − cos x)(sin x + sin x cos x + cos x).

Знаменатель можно отбросить, так как при cos x = 0 ни одна из скобок в разложении числителя не обращается в нуль. Заботиться о том, чтобы 1 + sin x + sin² x не обращалось в нуль, не нужно, так как это выражение всегда положительно.

Если sin x − cos x = 0, то tg x = 1, откуда x = ^π/₄ + kπ.

Остается решить уравнение

sin x + sin x cos x + cos x = 0.

Мы знаем, что (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x cos x. Отсюда

Сделав такую замену в оставшемся уравнении, получим квадратное уравнение относительно y = sin x + cos x

y² + 2y − 1 = 0.

Корни этого уравнения

y_1,2 = −1 ± √2.

Записав sin x + cos x в виде √2 cos (

x − ^π/₄), мы убедимся, что корень y₁ = −1 − √2 является посторонним. Остается

cos (x − ^π/₄) = 1 − ¹/_√2,

откуда

x = 2kπ ± arccos (1 − ¹/_√2) + ^π/₄.

Ответ. 2kπ; ^π/₄ + kπ; 2kπ ± arccos (1 − ¹/_√2) + ^π/₄.

13.4. Данное уравнение эквивалентно системе

Преобразуя левую и правую части уравнения в сумму тригонометрических функций, мы получим уравнение

cos 9x = 0, откуда x = ^π/₁₈(2n + 1).

Из найденных значений x нужно выбрать те, при которых

cos 2x cos 7x ≠ 0, т. е. cos 5x + cos 9x ≠ 0.

Так как речь идет о значениях неизвестного, при которых cos 9 x = 0, то остается потребовать, чтобы cos 5x ≠ 0, т. е. 5 · ^π/₁₈(2n + 1) ≠ ^π/₂(2k + 1), откуда ⁵⁽²ⁿ + 1)/₉ ≠ 2k + 1. Число ⁵⁽²ⁿ + 1)/₉  не может быть четным, так как в его числителе лишь нечетные множители.

Оно будет целым, когда = ^{2n + 1}/₉ = 2n + 1, т. е. при n = 9m + 4.

Следовательно, корнями уравнения являются числа x = ^π/₁₈(2n + 1) при n ≠ 9m + 4.

Ответ.^π/₁₈

(2m ± 1); ^π/₁₈(18m ± 3); ^π/₁₈(18m ± 5); ^π/₁₈(18m ± 7).

13.5. Если запишем данное уравнение в виде

то получим равносильное уравнение. Однако дальнейшие преобразования заставляют нас ввести ограничения:

Далее

Когда tg x ≠ 0, то и sin x ≠ 0. Это означает, что первое уравнение можно переписать в виде ¹/_{cos x} = 2, откуда cos x = ½, что обеспечивает выполнение всех ограничений.

Ответ. 2nπ ± ^π/₃.

13.6. Прибавив к обеим частям уравнения tg 3x, получим

3(tg 3x − tg 2x) = tg 3x (1 + tg² 2x),

или

Последнее уравнение эквивалентно системе

Решим первое уравнение. Для этого представим произведение sin x cos 2x в виде разности синусов. После приведения подобных членов получим

sin 3x = 3 sin x.

Воспользовавшись формулой синуса тройного угла, придем к уравнению

sin x (3 − 4 sin² x) = 3 sin x, или sin³ x = 0,

откуда x = πk.

Легко проверить, что при x = πk ни cos 2x, ни cos 3x в нуль не обращаются.

Ответ. πk.

13.7. Преобразуем уравнение следующим образом:

(sin x + cos x)(1 − sin xcos x) + ¹/_√2 sin 2xsin (x + ^π/₄) = sin (^π/₂ − x) + sin 3x.

Так как sin x + cos x = √2 sin (^π/₄ +

x), то придем к уравнению

sin (^π/₄ + x) = √2 sin (^π/₄ + x ) cos (^π/₄ − 2x).

Если sin (^π/₄ + x) = 0, то x₁ = ^π/₄(4n − 1). Остается

√2 cos (^π/₄ − 2x) = 1,

откуда

x₂ = nπ, x₃ = ^π/₄(4n + 1).

Серии чисел x₁, = ^π/₄(4n − 1) и x₃ = ^π/₄(4n + 1) можно объединить: x₁ = ^π/₄(2n + 1).

Ответ.^π/₄(2n + 1); nπ.

13.8. Перепишем уравнение следующим образом:

4(tg 4x − tg 3x) = tg 2x (1 + tg 3x tg 4x).

Приведем выражения в скобках к виду, удобному для логарифмирования:

Уравнение равносильно системе

Так как cos x = 0 не удовлетворяет уравнению, то его можно переписать так:

4 tg x = tg 2x, или 2 tg x = ^{tg x}/_{1 − tg² x}.

Мы воспользовались неабсолютным тождеством, которое исключает из области определения те значения x, при которых tg x не существует. Однако tg x

входил в предыдущее уравнение, а потому существует, и потеря корней произойти не может. Из последнего уравнения, если tg x = 0, получаем x = nπ.

Если tg x ≠ 0, то 2 − 2 tg² x = 1, tg x = ±¹/_√2. Так как cos 3x и cos 4x не обращаются при этом в нуль, то можно написать ответ.

Ответ.nπ; nπ ± arctg ¹/_√2.

13.9. Уравнение можно переписать так:

Поскольку 0 < x < 2π, то 0 < ^x/₂ < π и sin ^x/₂ > 0. Однако cos ^x/₂ в этом интервале меняет знак, и нам придется разбить интервал на два: 0 < x ≤ π и π < x < 2π.

Если 0 < x ≤ π, получим уравнение

^√2/₂ sin ^x/₂ + ^√2/₂ cos ^x/₂ = sin 2x,

y которого может появиться лишь один посторонний корень при cos x = 0. Перепишем последнее уравнение так:

sin (^x/₂ + ^π/₄) = sin 2x,

и найдем его корни из интервала 0 < x ≤ π: x₁ = ^π/₆, x₂ = ^3π/₁₀. Если π < x < 2π, придем к уравнению

^√2/₂ sin ^x/₂ − ^√2/₂ cos ^x/₂ = sin 2x   или   sin (^x/₂ − ^π/₄) = sin 2x,