Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Взяв знак плюс, получим x² = π(2n + 1). Этот корень посторонний, так как sin x² ≠ 0.

Для знака минус получим, что x² = −^π/₂ + 2nπ. Это тоже посторонний корень, так как cos x² ≠ 0.

Ответ. Нет решений.

13.16. Данное уравнение равносильно системе

Уравнение можно привести к однородному, домножив 6 sin x на sin² x + cos² x:

3 sin³ x − cos³ x − 2 sin x cos² x = 0.

Обозначим tg x через y, получим

3y³ − 2y − 1 = 0, или (y − 1)(3y² + 3y + 1) = 0,

где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Остается y = 1, т. е. tg x = 1, x = ^π/₄ + nπ. Однако cos 2x при x = ^π/₄ + nπ обращается в нуль.

Ответ. Нет решений.

13.17. С помощью формул универсальной подстановки придем к уравнению относительно y = tg ^x/₂:

y(2y³ − 7у² − 2y + 1) = 0.

В результате такой замены могли быть потеряны корни, так как tg ^x/₂ теряет смысл при x = π(2k + 1), в то время как sin x, cos x и tg x при этих значениях x имеют смысл. Проверкой убеждаемся, что эти значения неизвестного не являются корнями исходного уравнения.

Один корень полученного алгебраического уравнения очевиден: y = 0. Второй мы найдем на основании теоремы о рациональных корнях многочлена, испытав y = ±1; ±½. Убеждаемся, что y = −½ — второй корень уравнения. Разделив многочлен 2

y³ − 7у² − 2y + 1 на 2y + 1, получим уравнение

y² − 4y + 1 = 0,

которое даст еще два корня: y = 2 + √3, y = 2 − √3.

Если tg ^x/₂ = 2 + √3, то

то же самое мы получим и при tg ^x/₂ = 2 − √3.

Так как и обратно из sin x = ½ следует, что

то совокупность уравнений tg ^x/₂ = 2 + √3 равносильна уравнению sin x = ½. Получаем x = kπ + (−1)^kπ/₆.

Ответ. 2πk; kπ + (−1)^{k π}/₆; 2πk − 2 arctg ½.

13.18. Понижением степени данное уравнение приводится к виду

2 cos x = 1 + cos ^3x/₂.

С помощью формул для косинуса двойного и тройного углов приходим к уравнению относительно y = cos ^x/₂:

4y³ − y² − 3y + 3 = 0.

Левую часть легко разложить на множители:

4у²(y − 1) − 3(y − 1) = 0,    (y − 1)(4у² − 3) = 0.

Если cos ^x/₂ = 1, то x₁, = 4πn. Если 4 cos² ^x/₂ = 3, то cos x = ½ и x₂ = 2πn ± ^π/₃.

Ответ.

4πn; 2πn ± ^π/₃.

13.19. Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:

Теперь придем к виду, удобному для логарифмирования, правую часть уравнения:

2√2(1 + sin 2x + cos 2x) = 4√2 cos x(sin x + cos x) = 8 cos x sin (^π/₄ + x). В итоге получаем уравнение

которое равносильно системе

Условие sin x sin (^π/₄ − x) ≠ 0 подсказывает, что удобнее в левой части уравнения заменить sin 4x на его разложение, стоящее справа, чем наоборот. Сокращая после этого обе части уравнения на 8 sin x sin (^π/₄ − x) ≠ 0, получим уравнение

cos x cos (^π/₄ − x)[sin (^π/₄ + 2x) − 1] = 0.

Среди корней уравнений cos x = 0 и cos (^π/₄ − x) = 0 не может быть таких, при которых sin x sin (^π/₄ − x) = 0. Остается проверить корни уравнения sin (^π/₄ + 2x) = 1. Преобразуем вначале условие, которому они должны удовлетворять: sin x sin (^π/₄ − x) ≠ 0, или cos (^π/₄ − 2x) − cos ^π/₄ ≠ 0, т. е. cos (^π/₄ − 2x) ≠ ¹/

_√2, или sin (^π/₄ + 2x) ≠ ¹/_√2. Теперь ясно, что в уравнение sin (^π/₄ + 2x) = 1 не попали посторонние корни.

Ответ.^π/₂ + nπ; −^π/₄ + nπ; ^π/₈ + nπ.

13.20. Перепишем данное уравнение в виде

т. е.

После возведения в квадрат (при этом могут появиться посторонние корни, для которых cos x > 0) получим квадратное уравнение относительно y = cos x:

y² − 4у − 4 = 0,   т. е. y_1,2 = 2 ± 2 √2.

Положительный корень заведомо посторонний. Остается

cos x = 2 − 2 √2.

Ответ.x = π(2n + 1) ± arccos |2( √2 − 1)|.

13.21. Так как sin 4x = 4 sin x cos x(2 cos² x − 1), то данное уравнение можно переписать в виде

sin x [4 cos x (2cos² x − 1) − ^m/_{cos x}] = 0.

Если sin x = 0, то x = kπ. Это — корни данного уравнения, поскольку cos kπ ≠ 0.

Если выражение в квадратных скобках равно нулю, то приходим к биквадратному уравнению

8 cos⁴ x − 4 cos² x − m = 0,

среди корней которого не должно быть cos x = 0.

Решая это биквадратное уравнение, получим

Так как m > 0, то перед корнем берем знак плюс. (Очевидно, что при этом cos x ≠ 0). Воспользуемся формулой

и преобразуем уравнение к виду

Правая часть этого уравнения положительна. Поэтому, чтобы уравнение имело решение, достаточно

откуда m ≤ 4.

Ответ. При m > 0 уравнение имеет решение x = nπ; при 0 < m ≤ 4:

13.22. Раскроем скобки и применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:

Приведя подобные члены, получим

откуда

и

Ответ.

13.23. Так как

sin kх sin k²x = 1 {cos [(k − 1)kx] − cos [k(k + 1)x]}, то уравнение можно переписать в виде

 откуда

Ответ.  где k = 0, +1, +2, ..., а натуральное n фиксировано.

13.24. Перенесем единицу в левую часть и запишем уравнение в виде

2 cos x − cos 2x − cos² 2x = 0,

или

2 cos x − cos 2x (1 + cos 2x) = 0.

Выражение в скобках равно 2 cos² x. Поэтому

cos x (1 − cos x cos 2x) = 0.

Если cos x = 0, то x = ^π/₂ + nπ.

Если cos x cos 2x = 1, то

Второе уравнение первой системы преобразуется к виду 2 cos² x − 1, т. е. cos² x = 1. Следовательно, cos x = 1 и x = 2nπ.

Для второй системы аналогично получим cos² x = 0, что несовместно с первым уравнением cos x = −1.

Ответ.^π/₂ + nπ; 2nπ.