Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

13.25. Данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем

Первая система может быть переписана так:

откуда

(Для k и n берутся только неотрицательные значения.) Приравнивая различные выражения для x, получим k² = n² + 1, откуда (k − n)(k + n) = 1. Так как k и n — целые и неотрицательные, то

и, следовательно k = 1, n = 0.

Теперь x определяется однозначно: x = 4.

Решаем вторую систему:

где k, n = 0, 1, 2, ... .

Приравнивая правые части последней системы, получим

(2k + 1)² − (2n + 1)² = 4, или (k − n)(k + n + 1) = 1.

Так как n и k — целые и неотрицательные числа, то последнее уравнение равносильно системе

которая не имеет целых решений.

Ответ. 4.

13.26. Данное уравнение можно переписать в виде

sin³ x + cos³ x = sin² x + cos² x,

откуда

sin² x (1 − sin x) + cos² x (1 − cos x) = 0.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

Если в первом уравнении sin x

= 0, то cos x ≠ 0. Получаем систему решения которой: x = 2kπ.

Если в первом уравнении 1 − sin x = 0, т. е. sin x = 1, то cos x ≠ 1. Приходим к системе

решения которой: x = ^π(4k + 1)/₂.

Ответ. 2kπ; ^π(4k + 1)/₂.

13.27. Способ 1. Дополним левую часть данного уравнения до полного квадрата. Для этого придется ввести еще одно слагаемое: cos x cos 3x, знак которого зависит от знака cos x, так как из данного уравнения следует, что cos 3x ≥ 0.

Рассмотрим три случая.

1. Если cos x > 0, то перепишем данное уравнение в виде

cos² 3x + ¼ cos² x − cos x cos 3x = cos 3x cos⁴ x − cos 3x cos x,

или

(cos 3x − ½ cos x)² + cos x cos 3x (1 − cos³ x) = 0.

В левой части стоит сумма неотрицательных выражений, следовательно,

По предположению cos x > 0. Из первого уравнения последней системы следует, что тогда cos 3x > 0. Заметим, что

1 − cos³ x = (1 − cos x)(1 + cos x + cos² x),

причем всегда 1 + cos x + cos² x

> 0. В итоге приходим к системе

которая несовместна, так как при cos x = 1 мы получим cos 3x = 1, а не ½.

2. Если cos x = 0, то cos 3x = 4 cos³ x − 3 cos x = 0, и данное уравнение удовлетворяется. Получаем совокупность корней: x = ^π/₂ + nπ.

3. Если cos x < 0, то преобразуем уравнение к виду

(cos 3x + ½ cos x)² + cos 3x cos x (−1 − cos³ x) = 0,

в котором снова оба слагаемых неотрицательны. Аналогично случаю 1, это приводит нас к несовместной системе (закончить исследование самостоятельно).

Способ 2. Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно cos 3x:

cos² 3x − cos 3x cos⁴ x + ¼ cos² x = 0.

Следовательно,

Условие cos⁸ x − cos² x = cos² x (cos⁶ x − 1) ≥ 0 является следствием данного уравнения. Если cos² x = 0, то x = ^π/₂ + πk; эти значения x удовлетворяют первоначальному уравнению. Если же cos² x = 1, то исходное уравнение примет вид

cos² 3x − cos 3x + ¼ = 0, т. е. cos 3x = ½.

Из первого условия cos² x = 1 находим x = πk. Так как cos 3πk

 ≠ 2 , то в этом случае решений мы не получаем.

На этом примере хорошо видно, что отказ от равносильных преобразований может позволить решить задачу проще и короче.

Ответ.^π/₂ + nπ.

13.28. Данное уравнение равносильно системе

решая которую найдем ах = kπ и x = 2nπ. Приравнивая значения неизвестного, найденные из каждого уравнения, получим

^kπ/_a = 2nπ, т. е. ^k/_a = 2n.

Это в том случае, если а ≠ 0. Но если а = 0, данное уравнение примет вид cos x = 1 и, следовательно, имеет бесконечное множество корней.

Итак, k = 2nа.

Если а = ^p/_q — рациональное число, то k = ^2np/_q. Это значит, что при всех n, кратных q, мы будем получать корень данного уравнения x = 2nπ, т. е. уравнение имеет бесконечное множество корней.

Пусть теперь а — иррациональное число. Тогда при всех n, кроме n = 0, k не будет целым, а уравнение будет иметь единственное решение x = 0.

Ответ.а — иррациональное.

13.29. Так как второе уравнение легко приводится к виду

sin (2x − y) = 0,

то y = 2x + πk

. После подстановки этих значений y в первое уравнение получим

4 tg Зх = 3 tg 4x, или 4 (tg 4x − tg Зх) = tg 4x.

Используя простые преобразования, приходим к равносильным уравнениям:

Выражение, стоящее в скобках, может обратиться в нуль лишь при условии, что cos x, cos 2x, cos Зх одновременно равны по абсолютной величине единице. Это означает, что непременно |cos x| = 1, т. е. корнями выражения, заключенного в скобки, могут быть лишь числа x = πn, являющиеся также и корнями множителя sin x. (Обратите внимание на то обстоятельство, что здесь нельзя написать x = πk, поскольку буква k уже занята в записи решения второго уравнения.)

Таким образом, все решения данной системы содержатся в системе чисел x = πn, y = π(2n + k), которую можно переписать так: x = πn, y = πk. Непосредственной подстановкой в исходную систему убеждаемся, что каждая пара из системы этих значений x и y является решением.

Ответ.x = πk, y = πn.

13.30. Преобразовав левую часть второго уравнения в разность косинусов, получим

cos (2y + x) = О, откуда 2y = 2 − x + kn.

Приведем теперь первое уравнение системы к виду, удобному для логарифмирования:

При подстановке в правую часть значения 2y, полученного ранее, придется рассматривать случаи k = 2p и k = 2p + 1.

Если k = 2p, то