Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

которое даст нам еще два корня: x₃ = ^7π/₆, x₄ = ¹³/₁₀ π. Очевидно, что для полученных углов cos x ≠ 0.

Ответ.^π/₆; ^3π/₁₀; ^7π/₆; ^13π/₁₀.

13.10. Перенеся sin α в левую часть, запишем уравнение в виде

2 sin ^x/₂ cos ^x − 2α/₂ = 2 sin ^x/₂ cos ^x/₂,

или

sin ^x/₂ (cos ^x − 2α/₂ − cos ^x/₂) = 0.

Если sin ^x/₂ = 0, то x = 2nπ при любом α. Если cos ^x − 2α/₂ = cos ^x/₂, то либо ^x − 2α/₂ + ^x/₂ = 2nπ, откуда x = 2nπ + α, либо ^x − 2α/₂ − ^x/₂ = 2nπ, откуда α = 2nπ.

Ответ. При любом α: 2nπ, 2nπ + α; при α = 2nπ: x − любое.

13.11. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений

cos 2x = sin² x − a, cos 2x = a − sin² x.

Понизим степень в правой части каждого уравнения и найдем

cos 2x = ^{1 − 2a}/₃, cos 2x = 2a − 1.

Первое уравнение имеет решение, если

−1 ≤ ^{1 − 2a}/₃ ≤ 1, т. е. −1 ≤ a ≤ 2.

Второе уравнение имеет решение, если −1 ≤ 2a − 1 ≤ 1, т. е. 0 ≤ a ≤ 1. Данное в условии уравнение при −1 ≤ a ≤ 2 имеет решения

x = πn ± ½ arccos ^{1 − 2a}/₃,

а при 0 ≤ a ≤ 1 решения

x = πn ± ½ arccos (1 − 2a).

Так как

0 ≤ ½ arccos ^{1 − 2a}/₃ ≤ ^π/₄ и 0 ≤ ½ arccos (1 − 2a) ≤ ^π/₂,

то легко найти решения нашего уравнения, которые попадут в интервал 0 ≤ x ≤ 2π.

Ответ. ½ arccos ^{1 − 2a}/₃; π ± ½ arccos ^{1 − 2a}/₃; 2π − ½ arccos ^{1 − 2a}/₃ (существуют при −1 ≤ a ≤ 2);

½ arccos (1 − 2a); π ± ½ arccos (1 − 2a); 2π − ½ arccos (1 − 2a) (существуют при 0 ≤ a ≤ 1).

13.12. Преобразуем подкоренное выражение следующим образом:

sec² (17 + 8 sin x − 16 cos² x) = sec² x (1 + 8 sin x + 16 sin² x) = sec² x (1 + 4 sin x)².

Данное уравнение принимает вид

^{|1 + 4 sin x|}/_{|cos x}

| = 2 tg x (1 + 4 sin x).

Если 1 + 4 sin x = 0, то x = nπ + (−1)ⁿ + 1 arcsin ¼. Это — корни нашего уравнения, так как cos x ≠ 0 и tg x существует.

Если 1 + 4 sin x ≠ 0, то придется рассмотреть два случая, зависящих от знака этого выражения.

Пусть 1 + 4 sin x > 0, т. е. sin x > −¼. Тогда придем к уравнению

¹/_{|cos x}| = 2 tg x,  или  2 tg x|cos x| = 1,

которое равносильно совокупности систем

Вторая система не имеет решений при sin x > −¼. Решение первой: x = ^π/₆ + 2nπ.

Пусть, наконец, 1 + 4 sin x < 0, т. е. sin x < −¼. Уравнение

2 tg x |cos x| = −1,

к которому мы приходим в этом случае, равносильно такой совокупности систем:

Вторая система не имеет решений при sin x < −¼, а первая дает нам x = −^π/₆ + 2nπ.

Ответ.nπ + (−1)ⁿ + 1 arcsin ¼; ±^π/₆ + 2nπ.

13.13. Поскольку tg x + sin x = tg x (1 + cos x) = 2 tg x cos² ^x/₂, а tg x − sin x = 2 tg x sin² ^x/₂, данное уравнение можно записать в виде

√2 tg^½ x(|cos ^x/₂| + |sin ^x/₂| − √2 cos x) = 0.

Первые решения получим при tg x = 0; x =

kπ. Остальные решения нам доставят корни уравнения

|cos ^x/₂| + |sin ^x/₂| = √2 cos x,

при которых tg x > 0 (случай tg x = 0 уже исследован). Решим вначале последнее уравнение, а затем исключим те решения, которые не удовлетворяют неравенству tg x > 0. Возведем это уравнение в квадрат и, чтобы не нарушить равносильности, добавим ограничение cos x ≥ 0. Получим систему

Так как одновременно tg x > 0 и cos x > 0, то sin x > 0. Поэтому

|sin x| = sin x.

Приходим к уравнению

2sin² x + sin x − 1 = 0.

Решая его, найдем

|sin x| = ^{−1 ± 3}/₄.

Так как |sin x| ≥ 0, то остается решить уравнение

|sin x| = ½,

корнями которого будут числа

x = ^π/₆ + 2πk, x = ^5π/₆ + 2πk.

Остается вспомнить, что tg x > 0.

Ответ.kπ, ^π/₆ + 2kπ.

13.14. При замене ¹/_{sin 4x} на  можно ожидать потери корней, при которых tg 2x не существует, или, что то же самое, cos 2x = 0. Однако при cos 2x = 0 обращается в нуль и sin 4x, т. е. потери корней не произойдет.

Так как в левую часть уравнения

ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + (1 + tg² 2x)¹/_{tg 2x}

входит ctg 2x, то, заменив ¹/_{tg 2x} на ctg 2x и раскрыв скобки, мы уничтожим в правой и левой частях ctg 2x. Замена ¹/_{tg 2x} = ctg 2x

грозит лишь приобретением корней, при которых tg 2x не существует, т. е. безопасна, так как tg 2x остается в уравнении. Когда происходит уничтожение одинаковых слагаемых ctg 2x, то нужно добавить к уравнению

3 tg 3x = 2 tg x + tg 2x,

условие

ctg 2x существует.

Мы воспользовались попутно неабсолютным тождеством tg 2x ctg 2x = 1, которое не приводит к приобретению посторонних корней, так как tg 2x и ctg 2x остались в системе.

Преобразуем уравнение следующим образом:

2(tg 3x − tg x) + tg 3x − tg 2x = 0,

т. е.

Теперь систему можно переписать так:

Так как sin 2x ≠ 0, то на него можно сократить. Получим уравнение

cos 2x = −¼,

откуда x = ±arccos(−¼) + kπ. Поскольку при этих x все ограничения выполняются, найденные значения x являются решениями данного уравнения.

Ответ. ±arccos(−¼) + kπ.

13.15. Данное уравнение равносильно системе

Пусть sin x² + cos x² = y. Возведем это соотношение в квадрат: 1 + 2 sin x² cos x² = y², откуда

sin x² cos x² = ^y² − 1/₂.

После подстановки и простых преобразований уравнение примет вид

y² − 2y − 3 = 0,

откуда y₁ = −1, y₂ = 3. Второй корень посторонний, так как sin x² + cos х² всегда меньше двух.

Если sin x² + cos x² = −1, то

cos (х² − ^π/₄) = −¹/_√2 и x² = 2nπ ± ^3π/₄ + ^π/₄.