Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

2y = ^π/₂ − x + 2pπ

и sin 2y = cos x. Уравнение (1) преобразуется к виду

Если же k = 2p + 1, то

2y = ^π/₂ − x + π + 2pπ = ^3π/₂ − x + 2pπ

и sin 2y = −cos x. Уравнение (1) теперь примет вид

Поскольку значения x, при которых cos x = 0, удовлетворяют как уравнению (2), так и уравнению (3), то значениям x = (2n + 1)^π/₂ соответствуют все целые значения k. Поэтому

2y = ^π/₂ − x + πk = π − πn + πk = π(k − n + 1).

Так как k − n + 1 принимает все целые значения для любого фиксированного k, то можно обозначить k − n + 1 = p. Получаем систему решений

Остается приравнять нулю, выражения, стоящие в скобках в уравнениях (2) и (3).

Для уравнения (2) имеем

sin x + cos 2x = 0, cos 2x = cos (x + ^π/₂),

откуда x₂ = (4n + 1)^π/₂, x₃ = (4n − 1)^π/₆. Получаем еще две системы решений (здесь k = 2p)

Для уравнения (3)

cos 2x − sin x = 0, cos 2x = cos (^π/₂ − x),

откуда x₄ = (4n − 1)^π/₂, x₅ = (4n + 1)^π/₆. В этом случае k = 2p + 1, и мы находим еще две системы решений

Нетрудно заметить, что вторая и четвертая системы решений содержатся в первой.

Проверка не нужна. (Докажите.)

Ответ.

13.31. Перепишем систему в виде

Введем обозначения: sin x = u, sin y = v. Получим систему

Воспользуемся заменой v = ut:

откуда

5(t² − 3t) = 21 − t²,

т. е.

2t² − 5t − 7 = 0, t₁ = ⁷/₂, t₂ = −1.

Если t = ⁷/₂, то из первого уравнения последней системы мы получим

u² = ⁴/₇; u ±²/_√7; v = ut = ±²/_√7 ⁷/₂ = ±√7,

что невозможно, так как v = sin y.

Если же t = −1, то u² = ¼, u

= ±½.

Приходим к совокупности двух систем

Ответ.

13.32. Второе уравнение можно преобразовать так:

sin y + sin (2x − y) = sin y,

т. е. sin (2x − y) = 0, откуда y = 2x + nπ. Подставим в первое уравнение системы

4 tg 3x = 3 tg 4x.

При условии что cos 3x ≠ 0 и cos 4x ≠ 0, это уравнение равносильно такому:

4 sin 3x cos 4x − 3 sin 4x cos 3x = 0,

или

sin 3x cos 4x − 3 (sin 4x cos 3x − sin 3x cos 4x) = 0,

sin 3x cos 4x − 3 sin x = 0.

Так как sin 3x cos 4x = ½(sin 7х − sin x), то придем к уравнению

7 sin x = sin 7x.

По индукции можно доказать, что

sin пх ≤ n|sin x|,

причем равенство достигается лишь при x = kπ. Следовательно, уравнение 7 sin x = sin 7х имеет решения x = kπ.

При этом cos 3x ≠ 0 и cos 4x ≠ 0.

Подставляя в выражение для y, получим y = nπ.

Ответ.x =kπ, y = kπ.

13.33. Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:

2 = sin² y + 5 cos² y,

откуда cos² y = ¼, т. е. cos y = ±½.

Учитывая второе уравнение исходной системы, приходим к совокупности двух систем

Возводя при решении оба уравнения в квадрат, мы могли приобрести посторонние решения. Отсеять их можно просто: достаточно выбрать sin x и sin y так, чтобы они имели одинаковый знак (для cos x и cos y мы это уже обеспечили). Оба этих требования означают, что x и y должны лежать в одной четверти.

Решая первую систему, получим

Значения x и y будут лежать в одной четверти, если мы одновременно возьмем только верхние или только нижние знаки.

Аналогично поступаем со второй системой.

Ответ. 

где одновременно берут либо только верхние, либо только нижние знаки.

13.34. Так как sin ^πx²/₂ = 1, то

^πx²/₂ = ^π/₂ + 2πn,

откуда x² = 4n + 1 и

Подставив во второе уравнение, найдем

Чтобы это равенство выполнялось, необходимо

откуда n ≤ 2.

Ответ. 

где n = 0, 1, 2. Всего 12 решений (10 не совпадающих).

13.35. Разделив второе уравнение на первое, получим tg y = 2 tg x. Так как x + y = π − z, то tg z = −tg (π − z) = −tg (x + y).

По формуле тангенса суммы получаем

Применение неабсолютного тождества не приводит к потере решений, так как tg x и tg y входят в данную систему.

Подставляем в первое уравнение

откуда tg² x = 1, x = kπ ± ^π/₄. Найти y и z теперь не составляет труда.

Производя вычисления отдельно для x = kπ + /₄ и для x = kπ − /₄, после проверки получим решение системы.

Ответ.

13.36. Так как в уравнения системы входят одновременно tg x и ctg x

, tg y и ctg y, то неизвестные не могут принимать значения ^kπ/₂. С учетом этого данную систему можно записать сначала так:

а затем так:

откуда а tg y = 2 tg x.

Если а = 0, то tg x = 0, а ctg x не существует. Поэтому а ≠ 0 и tg y = ²/_a tg x. Подставляем в первое уравнение системы 

tg x + ^a/_{2 tg x} = a,   т. е. 2 tg² x − 2a tg x + a = 0.

Решаем последнее уравнение:

и находим tg y:

Дискриминант стоящего слева квадратного трехчлена равен а² − 2a. Он неотрицателен, если а ≤ 0 или а ≥ 2. Значение а = 0 нужно исключить.

При остальных а ни tg x, ни tg y не обращаются в нуль и существуют. Остается сделать проверку.

Ответ. Если а < 0 или а ≥ 2, то

где одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки.

13.37. Перенесем sin y и cos y в правую часть:

Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:

1 = 2 − 2(sin α sin y + cos α cos y),

т. е. cos (y − α) = ½. Таким образом, y − α = 2nπ ± ^π/₃. Аналогично найдем x − α = 2kπ ± ^π/₃.

Система еще не решена, так как при возведении в квадрат могли быть приобретены посторонние корни. Чтобы сделать проверку, подставим x = α + 2kπ ± ^π/₃ и y = α + 2nπ ± ^π/₃ в данную систему:

Обратим внимание на то, что в этой записи не исключается возможность выбора произвольных комбинаций знаков плюс и минус для x и y.