Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

дискриминант которого D = 5 − 4a.

Если 5 − 4a < 0, т. е. а > ⁵/₄, решений нет.

Если 5 − 4a = 0, т. е. а = ⁵/₄, получим уравнение

y² + ³/₂y + ⁹/₁₆ = 0

с единственным корнем y = −¾. Однако y ≥ 0 и потому решений тоже нет.

Пусть теперь а < ⁵/₄ и D > 0. Тогда уравнение (22) имеет корни:

Рассмотрим сначала случаи, когда один из этих корней равен нулю, т. е.

При а = −1 получим уравнение

y² − 3y = 0, т. е. y₁ = 0, y₂ = 3.

Поэтому при а = −1 исходное уравнение имеет три корня 0; −√3; √3.

При а = 1 получим

y² + y = 0,   т. е.   y₁ = 0, y₂ = −1.

Поскольку y ≥ 0, то при а = 1 остается одно решение x = 0.

Теперь осталось рассмотреть два случая:

y₁ > 0 и y₂ > 0.

В первом случае нужно решить неравенство

Оно равносильно системе

0 < 5 − 4a < (1 − 2a)²

(слева строгое неравенство, так как имеет место условие а < ⁵/₄), т. е.

0 < 5 − 4a < 1 − 4a + 4a².

Правое неравенство дает нам а² > 1. Таким образом, для y₁ > 0 получим

а < −1, 1 < а < ⁵/₄.

Для y₂ > 0 получим

Если 2a − 1 < 0, т. е. а < ½, то условие а < ⁵/₄ соблюдается. Поэтому при а < ½ получим, что у₂ > 0. Если же 2a − 1 ≥ 0, т. е. а > ½, то учтем условие а < ⁵/₄. Возведя неравенство в квадрат, получим а² < 1, т. е. во втором случае (а ≥ ½) получим ½ ≤ а < 1. Окончательно у₂ > 0 при а < 1.

Объединим решения для y₁ > 0 и у₂ > 0, нанеся их на числовую прямую, учтем результат, полученный для а = ⁵/₄ (рис. P.17.11).

Ответ. При а < −1 уравнение относительно x

имеет четыре решения. При а = −1 y него три решения, при −1 < а < 1 два решения, при а = 1 одно решение, при 1 < а < ⁵/₄ два решения, при а ≥ ⁵/₄ решений нет.

17.12. Пусть sin 4x = y. Тогда данное уравнение преобразуется в квадратное

(a + 3)y² + (2a − 1)y + (a − 2) = 0,   (23)

где

|y| ≤ 1.   (24)

Уравнение (23) имеет решения тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, т. е.

D = (2a − 1)² − 4(a + 3)(a − 2) = 25 − 8a ≥ 0.    (25)

Кроме того, нужно обеспечить, чтобы по крайней мере один из корней t₁ или t₂ уравнения (24) не превосходил по абсолютной величине 1.

Пусть сначала D = 0, т. е. а = ²⁵/₈. Тогда

Условие (24), как мы видим, соблюдается, и уравнение sin 4x = −³/₇ имеет решение.

Уравнение sin z = −³/₇ на отрезке [−π, π] имеет ровно два решения z₁ и z₂. Если осуществить замену переменной: z = 4x, то отрезок [−π, π] сузится для новой переменной x в четыре раза к началу отсчета и станет отрезком [−^π

/₄, ^π/₄]. Поэтому на отрезке [−π, π] для переменной x разместятся уже не 2, а 8 решений (в силу того, что sin z имеет период 2π, а sin 4x имеет период ^π/₂). Итак, а = ²⁵/₈ — одно из искомых нами значений параметра а.

Пусть теперь D > 0, т. е. а < ²⁵/₈. Тогда уравнение (23) имеет два действительных решения y₁ и y₂, такие, что y₁ < y₂. Если оба значения y₁ и y₂ попадают внутрь интервала (−1, 1), то каждому значению синуса будут соответствовать два значения переменной z в интервале (−π, π) и восемь значений переменной x = ^z/₄ в том же интервале. Решений будет ровно 8, если одно решение уравнения лежит в (−1, 1), а другое — вне этого интервала (случаи, когда y = ±1 будут рассмотрены отдельно). Конечно, можно перебрать все возможные варианты расположения y₁ и y₂ относительно интервала (−1, 1). Но это хлопотно и поэтому задачу следует упростить. Нас интересуют все случаи, когда один корень параболы, определяемой левой частью уравнения (23), внутри интервала (−1, 1), а другой вне этого интервала, т. е. парабола

f(y) = (а + 3)y² + (2a − 1)y + (а − 2)    (26)

пересекает интервал (−1, 1) в одной и только в одной точке. Это условие равносильно такому

f(−1)f

(1) < 0,    (27)

т. е. на концах интервала (−1, 1) парабола имеет противоположные знаки. Подставим в (27) значения y = −1 и y = 1. После преобразований получим

а < 0.

При этом условии удовлетворяется и требование D > 0, т. е. требование а < ²⁵/₈. Итак, все значения а ∈ (−∞, 0) удовлетворяют условиям задачи, как и найденное ранее значение а = ²⁵/₈. Мы не рассмотрели только случаи, когда корни уравнения (23) равны −1 и 1.

Начнем со случая y₁ = −1, y₂ = 1, т. е. f(−1) = f(1) = 0.

Так как f(−1) = 2, f(1) = 4a, то этот случай невозможен. Невозможен и случай, когда f(−1) = 0, так как f(−1) = 2. Остается последняя возможность: f(1) = 0. Но f(1) = 4a . Поэтому а = 0. Уравнение (23) примет вид

3y² − y − 2 = 0.    (28)

Уравнение (28) имеет два корня:

у₁ = −⅔ и y₂ = 1.

Первому из них уже будут соответствовать два значения z и восемь значений x на отрезке [−π, π]. Сколько соответствует второму, не существенно. Достаточно, что не меньше одного. Поэтому этот случай не дает новых значений параметра а.

Ответ.а ∈ (−∞, 0) ∪ (²⁵/₈).

17.13. Через точку на плоскости (x; y) с фиксированными координатами x и y проходит кривая семейства тогда и только тогда, когда существует значение параметра а, удовлетворяющее данному уравнению кривых семейства при этих фиксированных x и y.