Читаем Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы полностью

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Альберт Анатольевич Рывкин , Евгений Борисович Ваховский

Другими словами, если мы запишем уравнение семейства кривых как уравнение относительно а, то оно имеет решение при тех и только тех значениях x и y, при которых через точку плоскости с этими координатами проходит кривая семейства. Поэтому преобразуем исходное уравнение к виду

2a² + 2(x − 2)а + (x − 1)² − y = 0

и потребуем, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицателен

D = −х² + 2 + 2y ≥ 0,

откуда

y ≥ ^x²/₂ − 1.

Это необходимое и достаточное условие того, чтобы через точку (x; y) проходила по крайней мере одна кривая данного семейства.

Таким образом, через все точки (x; y), лежащие вне части плоскости, ограниченной параболой y = ^x²/₂ − 1 (рис. P.17.13), кривые семейства не проходят. Через остальные точки кривые проходят.

Глава 18
Задачи на составление уравнений

18.1. Пусть x, y, z, u — производительности первой, второй, третьей и четвертой труб соответственно. Примем объем бассейна за единицу. Тогда получим систему уравнений

Вычитая из первого уравнения поочередно второе и третье, найдем соответственно

z = ¹/₁₂

, x = ¹/₂₀.

Следовательно, общая производительность первой и третьей труб равна z + x = ²/₁₅.

Ответ. 7,5 ч.

18.2. Пусть плечи весов равны l₁ и l₂ соответственно. Тогда в первый раз продавец отпустил кг товара, а во второй раз он отпустил кг. Таким образом, он отпустил покупателю товар массой

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

где равенство достигается лишь при l₁ = l₂. Таким образом, продавец отпустил больше товара, чем следовало.

18.3. Если все 500 марок расклеить по 20 на один лист, то двух альбомов не хватит для всех марок. Поэтому 2x < 25, т. е. x ≤ 12 (x − количество листов в альбоме и, следовательно, целое). Если же 500 марок расклеить по 23 на один лист, то в двух альбомах окажется по крайней мере один свободный лист. Это значит, что 2x − 1 ≥ ⁵⁰⁰/₂₃, откуда 2x ≥ 22, x ≥ 11. Итак, либо x = 11, либо x = 12.

Если в альбоме 11 листов, то y школьника было 500 − 21 · 11 = 269 марок, которые нельзя разместить на 10 листах по 23 штуки на каждом. Второе число удовлетворяет условию задачи.

Ответ. 12 листов.

18.4. Поскольку понтоны находились в пути одинаковое время и в одинаковых условиях, то каждый из них проплыл одно и то же расстояние без буксира (см. второе указание на с. 203). Обозначим это расстояние через x. Каждый понтон находился в пути

Буксир в свою очередь, помимо пути в l

км вниз по течению, дважды преодолел расстояние l − 2x км: один раз вниз по течению, другой раз вверх по течению. На весь путь y него ушло

Приравниваем выражения (1) и (2) (буксир был в пути столько же времени, сколько каждый понтон) и решим уравнение.

Получим

Следовательно, второй понтон должен транспортироваться на расстояние в

а на всю перевозку уйдет

Ответ.

18.5. Пусть некто родился в году, где x − число десятков, а y — число единиц. В 1901 году ему было 1901 − лет.

Если y > 1, то, произведя вычитание, получим число , где 9 − x и 11 − y — цифры, образующие это число.

По условию сумма цифр числа равна сумме цифр числа

1 + 8 + x + y = (9 − x) + (11 − y), т. е. x + y = 5,5,

что невозможно, так как x и y — целые.

Если y ≤ 1 (это значит, что либо y = 0, либо y = 1), после вычитания получим число , где 10 − x и 1 − y цифры, образующие это число. Когда x ≠ 0, это число состоит из двух цифр, а когда x = 0 — из трех, причем первые две цифры 1 и 0. Пусть x ≠ 0. Запишем сумму цифр для этого числа:

1 + 8 + x + y = (10 − x

) + (1 − y), т. е. x + y = 1.

Так как x ≠ 0, то y = 0, а x = 1. Это означает, что некто родился в 1810 году.

Пусть теперь x = 0. Тогда получим уравнение

1 + 8 + y = 1 + (1 − y),

откуда y = −3,5, что невозможно.

Ответ. В 1810 году.

18.6. Пусть одна часть имеет массу x карат, тогда другая — p − x карат. Цена этих частей равна lх² и l(p − x)² соответственно, где l — коэффициент пропорциональности. Так как цена целого бриллианта была равна lр², то получим уравнение

lр² = k[lх² + l(p − x)²], которое после упрощений примет вид

Проведем исследование.

По смыслу задачи k > 1, p > 0. Следовательно, подкоренное выражение будет неотрицательным, если k ≤ 2, т. е. 1 < k ≤ 2.

Так как

(мы знаем, что k > 1), то оба значения x

неотрицательны. Легко проверить, что p − x₁ = x₂.

Ответ.

18.7. Примем расстояние, которое туристам нужно пройти на моторной лодке, за единицу. Через x кг/ч обозначим расход горючего в течение часа работы двигателя в режиме, обеспечивающем собственную скорость лодки v₁, а через y кг/ч — расход горючего при работе двигателя во втором режиме (v₂). Весь путь лодка пройдет за ч при работе двигателя в первом и во втором режимах соответственно. Так как расход горючего будет одинаковым, то