Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Глава 17

Функции и их свойства

17.1. Запишем данную систему в виде

которую решим относительно f(2x + 1) и g(x − 1):

В уравнении (1) осуществим замену переменной: x − 1 = y, т. е. x = y + 1. Тогда

В уравнении (2) сделаем замену: 2x + 1 = z, т. е. x = ^z − 1/₂. Тогда

Теперь мы знаем, что

Подставим эти значения в неравенство

4f(x) + g(x) ≤ 0,

которое требуется решить по условию задачи. Получим

или после простых преобразований:

x + 1 ≥ 0, т. е. x ≥ −1.

Ответ.x ≥ −1.

17.2. Сначала заметим, что

f(x) = x(x² − 6x + 9) = x(x − 3)².     (3)

Теперь подставим в (3) вместо x выражение f(x):

f(f(x)) = f(x)[f(x) − 3]² = x(x − 3)²(x³ − 6x² + 9x − 3)².    (4)

Уравнение f(f(x)) = 0 имеет корни x₁

= 0, x₂ = 3, а также корни уравнения

x³ − 6x² + 9x − 3 = 0.    (5)

При всех x ≤ 0 значения (6) отрицательны. При всех x ≥ 4 значения (6) положительны. Поэтому все корни (6) лежат в интервале (0, 4). Найдем корни производной функции (6):

y′ = 3x² − 12x + 9 = 3(х² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3).

При x = 1 значение y достигает максимума y = 1, а при x = 3 — минимума −3. Следовательно, функция (6) пересекает по одному разу ось Ox на каждом из интервалов (0, 1), (0, 3), (3, 4), т. е. имеет 3 корня. Таким образом, уравнение (2) имеет 5 различных корней.

Ответ. 5.

17.3. Из второго уравнения находим

5πz = π + 2πk, k — целое,

т. е.

z = ^{1 + 2k}/₅, k — целое.

Подставим в первое уравнение:

5 · 2^{x² − 2xy + 1} = (1 + 2k)3^y² − 1. (7)

Если y — целое, то 3^y² − 1 — целое при всех y ≠ 0. Рассмотрим вначале случай y = 0. Тогда уравнение (7) примет вид

5 · 3 · 2^{x² + 1} = 2k + 1,

и целых решений y него нет, поскольку при любых целых x слева — четное число, а справа — нечетное. Итак, y ≠ 0. Так как множителя 3 в левой части (7) нет, то это уравнение удовлетворяется только при y² = 1. При y = 1 получим

5 · 2^{x² − 2xy + 1} = 2k + 1, т. е. 5 · 2^(x −1)² = 2k + 1.

Левая часть последнего уравнения будет четным числом при всех целых x ≠ 1. Правая часть — нечетное число. Поэтому есть единственная возможность x = 1, а k = 2.

Получим решение: x = 1, y = 1, z = 1.

При y

= −1 придем к уравнению

5 · 2^{(x + 1)²} = 2k + 1,

которое удовлетворяется только при x = −1 и k = 2. Находим еще одно решение системы: x = −1, y = −1, z = 1.

Других решений y системы нет.

Ответ. (1, 1, 1), (−1, −1, 1).

17.4. Неравенство

|x + 2| ≤ x + 2

имеет решение x ≥ −2.

Обозначим

2^{x − 1} = y, sin ^πx/₂ = z.   (8)

Тогда уравнение, входящее в систему, примет вид

(4у + y + ¹/_y)z + (1 − 2z²) = 3 + 2y²,

а после простых преобразований

2z² − (5у + ¹/_y)z + 2(1 + y²) = 0.   (9)

Дискриминант уравнения (9), квадратного относительно z, равен:

D = (5у + ¹/_y)² − 16(1 + y²) = 9у² − 6 + ¹/_y² = (3у − ¹/_y)².

Поэтому решениями уравнения (9) будут:

z₁ = ¼[5у + ¹/_y − (3y − ¹/_y)] = ½(y

+ ¹/_y),   (10)

z₂ = ¼[5у + ¹/_y + (3у − ¹/_y)] = 2y.

Из (8) следует, что y > 0. Из неравенства, связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, при y > 0 вытекает неравенство: y + ¹/_y ≥ 2. Однако z = sin ^πx/₂, т. е. |z| ≤ 1. Но

z₁ = ½(y + ¹/_y).

Поэтому одновременно |z₁| ≤ 1 и z₁ ≥ 1, т. е. имеется единственная возможность z₁ = 1, что достигается при y = 1, а следовательно, при x = 1. Подставим значение x = 1 в исходную систему и убедимся, что это ее решение.

Для z₂ получим

sin ^πx/₂ = 2^x, где x ≥ −2.    (11)

При x > 0 решений уравнение (11) не имеет, поскольку тогда 2^x > 1, а |sin ^πx/₂| ≤ 1.

Значение x = 0 тоже решением не является, в чем убеждаемся непосредственной проверкой.

Когда −2 ≤ x < 0, решений тоже нет, так как при этих x значения 2^x положительны, а значения sin ^πx/₂ ≤ 0.

Ответ.x = 1.

17.5. Первообразная F(x) для функции f

(x) = 6х² + 2x + 6 равна:

F(x) = 2x³ + x² + 6х + С,   (12)

где константа С будет определена. Соответственно

f′(x) = 12x + 2.    (13)

В точке касания x₀ > 0,7 должны иметь место следующие соотношения:

т. е. получаем систему

Уравнение (15) после упрощений принимает вид

Из его двух корней x₀ = ⅔ и x₀ = 1 условию (16) удовлетворяет только второй. Подставляем x₀ = 1 в уравнение (14) и находим, что С = 5. Окончательно

F(x) = 2x³ + x² + 6х + 5.

Остается сформировать данное в условии задачи неравенство

которое примет вид

Разложим числитель на множители

и воспользуемся методом интервалов (рис. P.17.5). Ограничение x > 0,7 относилось только к расположению точки касания графиков f(x) и F(x). Здесь его учитывать не нужно.

Ответ.x ∈ (−∞; −¹/₆) ∪ [½; +∞).

17.6. По условию разность x − y такова, что может быть основанием логарифма. Поэтому возможна замена 1 = log_x − y (x − y), а данное в условии неравенство равносильно такому:

Так как (x − y) — основание логарифма, то либо 0 < x − y < 1, либо x − y > 1. Получим совокупность двух систем, которую затем несколько преобразуем, чтобы удобнее было перейти к графическим изображениям:

Последние два неравенства первой системы можно упростить, поскольку имеет место условие x − y > 0. Получим