Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

5 599 999 и 5 600 000, 16 399 999 и 16 400 000,

77 799 999 и 77 800 000, 888 899 999 и 888 900 000.

Этого для решения задачи достаточно. Искать все такие пары не требовалось.

6.14. Сделаем подстановку x = ky и разложим квадратный трехчлен относительно k на множители (при x = 0 и при y = 0 целых решений исходное уравнение не имеет):

3x² − 16xy − 35y² = y²(−k² − 16k − 35) = y²(3k + 5)(k − 7).

Теперь уравнение можно записать так

y²(3k + 5)(k − 7) = −17. (1)

Так как x и y — целые, то k — рациональное число, т. е. k = ^p/_q, где p и q — целые, p ≠ 0, q ≠ 0. После подстановки в (1) получим

(^y/_q)² (3p + 5q)(7q − p) = 17. (2)

Каждый из множителей в левой части (2) — целое число. При этом

(^y/_q)² = 1.

Иначе в правой части было бы два одинаковых целых множителя, отличных от ± 1. Остается рассмотреть варианты:

Вторая и четвертая системы не имеют целых решений. А первая и третья дают нам соответственно p₁ = −3, q₁ = 2; p₂ = 3, q₂ = −2.

Поскольку (^y/_q)² = 1, находим два решения системы.

Ответ. (−3, 2), (3, −2).

6.15. Если x = а, y = b — решение уравнения, то это уравнение имеет еще три решения: (−а, b), (

а, −b), (−а, −b).

Запишем уравнение в виде (x − 2y)(x + 2y) = 5² · 9 · 89 и рассмотрим только неотрицательные значения сомножителей: x − 2y ≥ 0, x + 2y ≥ 0. Кроме того, x + 2y ≥ x − 2y. Поэтому нужно рассмотреть только системы:

Их решениями будут соответственно:

(10 013, 5006), (3339, 1668), (2005, 1000), (1117, 554), (675, 330), (413, 194), (245, 100), (157, 34).

Каждое из этих восьми решений дает еще 3 решения.

Если решение системы

то решение системы

Таким образом, рассмотрение случая, когда число 3² · 5² · 89 разбивается на два отрицательных целочисленных множителя, к новым решениям не приведет.

Ответ. 32 целочисленных решения.

6.16. Запишем исходное условие в виде

44x − 11 = 69(y − x), или 11(4x − 1) = 69(y − x).

 Числа 11 и 69 взаимно простые, т. е. не имеют общих натуральных множителей, больших 1. Поэтому число 4x − 1 кратно 69, а число y − xкратно 11:

4x − 1 = 69k, y − x = 11n,

где k и n — натуральные числа.

Воспользуемся тем, что 69k + 1 = 4x, т. е. левая часть этого равенства делится на 4. Запишем его в виде: 68k + k + 1 = 4x, откуда k = 4m − 1. B качестве k могут быть использованы числа 3, 7, 11, 15, ... Проверим первое из них, которому соответствует минимально возможное значение x: 68 · 3 + 4 = 4х, т. е. x = 52. Поскольку y = x + 11n, то рассмотрим значения y по мере возрастания n. Минимальное значение y будет соответствовать минимальному значению n. При n = 1 получим y

= 63.

Ответ. (52; 63).

Глава 7

Алгебраические преобразования

7.1.

Ответ.

7.2. Перепишем данное выражение так:

Числитель второй дроби теперь легко разложить на множители. Со знаменателем дело обстоит несколько труднее. Однако в первую очередь нас интересует, делится ли знаменатель на 1 + x − x². Проверяем с помощью деления углом (проделайте это самостоятельно) и убеждаемся, что

x⁴ − x² − 2x − 1 = (1 + x − x²)(−x² − x − 1).

Таким образом,

Ответ.

7.3. Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю. Получим

где А и B — соответственно многочлены, входящие множителями в первое и во второе слагаемые.

Раскроем в числителе скобки и приведем подобные. После этого останется

Преобразуем третье слагаемое:

Остается вычесть его из предыдущего результата.

Ответ. это выражение положительно при x ≠ 0.

7.4. Домножив дробь на  получим

Остается вычесть 2√b и данное выражение примет вид

Ответ.

7.5. Вынесем за скобки  и воспользуемся выражением x через а: 

Ответ. 0.

7.6. Преобразуем данное выражение:

Так как 1 ≤ x ≤ 2, то 0 ≤ x − 1 ≤ 1 и, следовательно,  т. е.  Поэтому

Ответ. 2.

7.7. Так как 9 + 4√2 = (2√2 + 1)², то

Остается преобразовать

Если догадка, что

43 + 30√2 = 25 + 2 · 5 · 3√2 + 18 = (5 + 3√2)²,

кажется вам неестественной, то воспользуйтесь формулой сложного радикала

Ответ. 5 + 3√2.

7.8. Перепишем данное выражение в виде

(z² − y²)(xу + zu) + (x² − u²)(xу + zu) + (y² − z²)(

xz + уu) + (x² − u²) × (xz + уu) = (z² − y²)(xу + zu − xz − уu) + (x² − u²)(xу + zu + xz + уu).

Так как

xу + zu − xz − уu = x(y − z) − u(y − z) = (y − z)(x − u),

xу + zu + xz + уu = (y + z)(x + u),

то получим

(z − y)(z + y)(y − z)(x − u) + (x − u)(x + u)(y + z)(x + u) = (x − u)(y

+ z)[−(y − z)² + (x + u)²].

Ответ. (x − u)(y + z)(x + u − y + z)(x + u + y − z).

7.9. Обозначим

Возведем в куб. Получим

Произведение корней преобразуем так:

выражение в скобках равно z. Придем к уравнению

z³ − 5z − 12 = 0.

Так как z = 3 — корень этого уравнения, в чем убеждаемся проверкой, то преобразуем уравнение к виду

z³ − 9z + 4z − 12 = 0, или (z − 3)(z² + 3z + 4) = 0.

Уравнение z² + 3z + 4 = 0 не имеет действительных корней. Следовательно, z = 3, что и требовалось доказать.

7.10. По условию а + b = −с. Возведем в куб

а³ + b³ + 3аb(а + b) = −с³

и заменим а + b на −с. Получим

а³ + b³ + с³ = 3аbс.

Возведем а + b + с = 0 в квадрат

а² + b² + с² = −2(ab + ас + bc)

и еще раз возведем в квадрат