Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

а⁴ + b⁴ + с⁴ + 2(а²b² + а²с² + b²с²) = 4[а²b² + а²с² + b²с² + 2(а²bc + b²ас + с²ab)].

Поскольку а²bc + b²ас + с²ab = аbс(а + b + с) = 0, то

а⁴ + b⁴ + с⁴ = 2(а²b² + а²с² + b²с²).

Преобразуем левую часть тождества, которое нужно доказать:

а⁵(b² + с²) + b⁵(а² + с²) + с⁵(а² + b²) = а²b²(а³ + b³) + а²с²(а³ + с³) + b³с²(b³ + с³).

Заменим а³ + b³ на 3

аbс − с³ и поступим аналогично с остальными скобками:

что и требовалось доказать.

7.11. Если данное равенство доказано при x ≥ 0 и любом y, то оно верно для всех x и y. Действительно, пусть x < 0. Тогда левую часть можно записать в виде

|−(x + y)| + |−(x − y)| = |(−x) − y)| + |(−x) + y|,

а правую — в виде

Поскольку −x > 0, то равенство стоящих справа выражений будет доказано.

Итак, пусть x ≥ 0. Рассмотрим два случая: |y| ≤ x и |y| > x.

1. x ≥ 0, |y| ≤ x, т. е. −x ≤ y ≤ x. Тогда x² − y² ≥ 0 и  — неотрицательное действительное число. Кроме того  и равенство примет вид

2. x ≥ 0, |y| > x, т. е. y < −x или y > x. Левая часть равенства в этом случае равна 2|y| (случаи y < −x и y > x разберите самостоятельно). Так как |y| > x, то  следовательно,

Тем самым доказательство тождества закончено.

7.12. Так как обе части равенства неотрицательны, то можно каждую из них возвести в квадрат

Осуществим действия, указанные в скобках, и заметим, что (^{x + y}/₂)² ≥ xy. Получим

x² + 2ху + y².

Если возвести в квадрат правую часть, то получим

x² + 2|ху| + y².

Так как по условию ху = |ху|, то равенство доказано.

7.13. Возведем выражение

a^⅓ + b^⅓ = −c^⅓   (1)

в куб. Получим

a + b + 3a

^⅓b^⅓(a^⅓ + b^⅓) = −c.  (2)

Подставим (1) в (2):

a + b − 3a^⅓b^⅓c^⅓ = −c.

т. е.

a + b + c = 3a^⅓b^⅓c^⅓,

или

(а + b + с)³ = 27аbс.

7.14. По условию

24х² + 48х + 26 = (ax + b)³ − (cx + d)³,

т. е. коэффициенты многочленов слева и справа равны. Прежде чем преобразовать правую часть, заметим, что коэффициент при x³ равен нулю, т. е. а³ − с³ = 0, или а = с. Тогда получим, что

(ax + b)³ − (ax + d)³ = 3а²(b − d)x² + 3а(b² − d²)x + b³ − d³.

Следовательно,

Из (3): b − d = ⁸/_a². Из (4) с учетом (3): b + d = 2а.

Далее найдем:

Подставим выражения для b − d , b + d и bd в (5):

(так как а > 0).

Соответственно, b = 3, d = 1.

Ответ. 2x + 3; 2x + 1.

Глава 8

Делимость многочленов. Теорема Безу. Целые уравнения

8.1. Положив x − 5 = y, приведем уравнение к виду

(y + ½)⁴ + (y − ½)⁴ = 1, или (2у + 1)⁴ + (2у − 1)⁴ = 16,

откуда после простых преобразований получим

16y⁴ + 24y² − 7 = 0.

Ответ. x_1,2 = 5 ± i^√7/₂; x₃ = 4,5; x₄ = 5,5. 

8.2. Перемножим попарно первую и третью скобки и две оставшиеся:

(12х² + 11х + 2)(12х² + 11х − 1) = 4.

Обозначив 12х² + 11х + ½ = y, получим

(y + ³/₂)(y − ³/₂) = 4,

откуда

y₁ = −⁵/₂, у₂ = ⁵/₂.

Остается решить два квадратных уравнения.

Ответ.

8.3. Запишем уравнение в виде

x² − 17 = 3y²

и рассмотрим случаи x = 3k, x = 3k ± 1. B первом случае левая часть примет вид 9k² − 17 и не будет делиться на три. B остальных двух случаях в левой части получим

9k² ± 6k − 16,

что снова не делится на три. Поскольку правая часть всегда делится на три, то уравнение не имеет целых решений.

8.4. Решим уравнение относительно x:

Так как уравнение имеет действительные корни лишь при

25 − y² ≥ 0, т. е. |y

| ≤ 5,

то остается перебрать все целые значения y, для которых  — целое число: y = 0, y = ±3, y = ±4, y = ±5. Для каждого значения y найдем два значения x.

Ответ. (10, 0), (−10, 0); (−1, −3), (−17, −3); (1, 3), (17, 3); (−6, −4), (−18, −4); (6, 4), (18, 4); (−15, −5), (15, 5).

8.5. По определению деления имеем тождество

x⁹⁹ + x³ + 10х + 5 = Q(x) (x² + 1) + ax + b,

которое справедливо всюду в области комплексных чисел. Так как частное Q(x) нам неизвестно и оно нас не интересует, то в качестве значения xнужно выбрать один из корней выражения x² + 1, например x = i. Подставив x = i, получим

i⁹⁹ + i³ + 10i + 5 = аi + b, т. е. 8i + 5 = аi + b,

откуда а = 8, b = 5.

Ответ. 8х + 5.

8.6. Перепишем уравнение в виде

y² ^2x² + 1/_x² + 2 = 6.

Если x² ≥ 1, то ^2x² + 1/_x² + 2 ≥ 1. 

Так как x = 0 не является целочисленным решением уравнения, то можно утверждать, что y² ≤ 6. Остается рассмотреть случаи: y² = 0, y² = 1, y² = 4. Первый и второй не приводят к действительным значениям x. Для y² = 4 находим x² = 4.

Ответ. (2, 2), (2, −2); (−2, 2), (−2, −2).

8.7. Подставим в данное уравнение x = √3 + 1. После простых вычислений и преобразований получим

36 + 10а + 4b + (22 + 6а + 2b)√3 = 0.

Сумма двух чисел, из которых одно рациональное, а другое иррациональное, может равняться нулю, только если оба числа равны нулю:

(1).

Решая эту систему, найдем а = −4, b = 1. Поскольку уравнение

x⁴ − 4x³ + x² + 6x + 2 = 0

одним из своих корней имеет число √3 + 1, а все коэффициенты уравнения — целые, то следует ожидать, что наряду с этим корнем должен существовать и корень √3 − 1. Подставим это значение x в уравнение и соберем отдельно рациональные и иррациональные члены. Получим

36 + 10а + 4b − (22 + 6а + 2b)√3 = 0,