Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы

Очевидно, что сумма вероятностей положительной и отрицательной доходности актива равна единице, т. е. При этом для безрискового актива (при) значения данных вероятностей составляют и.

Коэффициент вариации доходности актива.

В теории вероятностей отношение СКО к МО случайной величины называют коэффициентом вариации, который является относительной мерой изменчивости (устойчивости) случайной величины.

Представим аргумент интеграла вероятностей в виде

где — коэффициент вариации доходности актива.

Таким образом, коэффициент вариации может быть определён как

Применительно к безрисковым активам с абсолютно устойчивой доходностью значение коэффициента вариации доходности актива равно нулю, а рост неустойчивости доходности рискованного актива приводит к неограниченному росту коэффициента вариации

Цена приобретения актива не может быть отрицательной величиной и теоретически её минимально возможное значение составляет, поэтому наименьшее положительное значение коэффициента вариации доходности актива равно. Отношение СКО дохода к МО дохода является не чем иным как коэффициентом вариации дохода актива т. е.

Кроме того, следует отметить, что цена приобретения актива не может принимать и сколь угодно большие положительные значения. Поэтому нормальное распределение следует рассматривать лишь как удобную аппроксимацию реальной плотности распределения дохода актива.

На рис. 7.2 представлен график зависимости коэффициента вариации от цены приобретения актива.

Рис. 7.2. Зависимость коэффициента вариации доходности от цены приобретения актива

Анализ соотношения (7.1) и графика на рис. 7.2 показывает, что:

графиком зависимости коэффициента вариации доходности от цены приобретения актива является равносторонняя гипербола с асимптотой, проходящей параллельно оси ординат через точку с координатами;

стремление инвестора к предельно низкой цене приобретения актива обеспечивает не только более высокую доходность, но и сравнительно низкое значение коэффициента вариации, т. е. наибольшую устойчивость доходности актива;

минимальная устойчивость доходности наблюдается при или.

Удобство от использования коэффициента вариации при анализе инвестиционных качеств актива заключается в замене трёх переменных и на одну переменную. Например, выражения для вероятностей положительной и отрицательной доходности можно преобразовать соответственно к виду

Анализ данных соотношений показывает, что уровни вероятностей отрицательной и положительной доходности актива зависят от одного параметра — коэффициента вариации. При этом большее значение коэффициента вариации свидетельствует об относительно высоком уровне вероятности отрицательной и низком уровне вероятности положительной доходности актива. Чем ближе коэффициент вариации к нулю, тем выше уровень вероятности положительной доходности и меньше уровень вероятности отрицательной доходности актива. Как уже отмечалось, для безрисковых активов, вероятности и, т. е. риск отрицательной доходности актива полностью отсутствует.

Кроме того, поскольку вероятности отрицательной и положительной доходности актива является исключительно функцией одного параметра, то в качестве меры инвестиционного риска может служить на равных основаниях, как вероятность отрицательной или положительной доходности, так и коэффициент вариации доходности.

Плотности распределения случайной величины в областях положительной и отрицательной доходности актива.

Плотность распределения случайной величины в области положительной доходности

где — коэффициент, определяемый согласно фундаментальному свойству плотности распределения случайной величины из уравнения [2], или

Учитывая соотношение для вероятности положительной доходности актива, получаем

Плотность распределения случайной величины в области отрицательной доходности

где — коэффициент, определяемый из уравнения.

Учитывая соотношение для вероятности отрицательной доходности актива, находим

Математическое ожидание случайной величины в областях положительной и отрицательной доходности актива.

Математическое ожидание случайной величины в области положительной доходности (см. рис. 7.1)

Математическое ожидание случайной величины в области отрицательной доходности (см. рис. 7.1)

Анализ полученных соотношений и рис. 7.1 показывает, что независимо от значений величин и справедливо неравенство.

Денежные потоки, формируемые областями положительной и отрицательной доходности.