Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Ньютон вывел свой закон из трех законов Кеплера о движении планет. Опубликованный им труд стал высшим достижением классической евклидовой геометрии. Ньютон сознательно избрал этот способ подачи материала, поскольку тот был основан на знакомых математических понятиях, а значит, менее уязвим для критиков. И всё же многие аспекты «Начал» появились на свет исключительно благодаря неопубликованным методам исчисления, открытым Ньютоном.

Среди первых его работ в этой области есть статья под названием «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», которую он распространил среди немногочисленных друзей в 1669 г. В современной терминологии он задается вопросом, как будет выглядеть уравнение для функции f(x), если площадь под графиком равна x

^m. (На самом деле вопрос касался более общих явлений, но давайте упростим.) К своему полному удовлетворению, он пришел к выводу, что ответ будет: f(x) = mx^m

^{− 1}.

ИСААК НЬЮТОН 1642–1727

Ньютон рос на ферме в небольшой деревушке Вулсторп в графстве Линкольншир. Его отец скончался за два месяца до его рождения, и мать одна управлялась на ферме. Исаака отправили учиться в ближнюю школу, где он не выделялся особыми талантами, разве что отлично умел мастерить механические игрушки. Однажды он наполнил надувной шар горячим воздухом и испытал это средство воздухоплавания, посадив вместо пилота своего кота. Ни шар, ни кота никто больше не видел. Исаак поступил в Тринити-колледж в Кембриджском университете, где вполне успешно обучался по всем предметам – за исключением геометрии. Студентом он не производил впечатления будущего светила науки.

Чума

Позже, когда в 1665 г. великая эпидемия чумы опустошила Лондон и окрестности, студентов поспешно разослали по домам, пока мор не дошел до Кембриджа. Вернувшись на родительскую ферму, Ньютон стал серьезнее относиться к науке в целом и в частности к математике.

Тяготение

В 1665–1666 гг. он вывел свой закон тяготения, объясняющий движение планет, развил законы механики, чтобы проанализировать движения любого рода для всех физических тел, изобрел дифференциальное и интегральное исчисления, совершил важные открытия в оптике. Что характерно, он не спешил публиковать свои труды, но как ни в чем не бывало вернулся в колледж, получил степень магистра и стал членом Тринити-колледжа. Затем его избрали на должность Лукасовского профессора математики, а в 1669 г. подал в отставку предыдущий профессор, Барроу. Ньютон не прославился как преподаватель, на его лекциях было мало студентов.

Подход Ньютона к вычислению производных в основном напоминает подход Лейбница, только вместо dx он использовал o, а значит, его метод грешил той же логической проблемой: он давал приблизительный результат. Однако Ньютону удалось показать: если принять о за бесконечно малую величину, приближение станет намного точнее. И когда мы дойдем до предела, где o станет такой малой, какой нам угодно, ошибка исчезнет. Поэтому Ньютон утверждал, что его результат точен. Он изобрел новое слово «флюксия», чтобы подчеркнуть главную идею: величина стремится к 0, но никогда не достигает его.

В 1671 г. он создал более обширный труд, «Метод флюксий и бесконечных рядов». Первая книга, посвященная исчислению, так и не была опубликована вплоть до 1711 г., вторая увидела свет в 1736 г. Однако несомненно, что уже к 1671 г. Ньютон оперировал всеми основополагающими идеями исчисления.