Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Зато несущие цепи на подвесных мостах имеют форму параболы. Эта разница возникает оттого, что цепи несут на себе и вес моста, и собственный. И снова это можно показать при помощи исчисления.

Клифтонский подвесной мост – парабола

Математики на континенте, особенно братья Бернулли, грудью встали на защиту Лейбница, полагая, что именно Ньютон был замешан в плагиате. На самом деле оба сделали свои открытия почти независимо друг от друга, как показали их неопубликованные рукописи. Добавило туману и то, что оба во многом опирались на предыдущую работу Барроу, который, вероятно, имел больше оснований для жалоб, чем любой из них.

Обвинения могли быть легко сняты, но вместо этого спор стал более ожесточенным; Иоганн Бернулли перенес свою неприязнь к Ньютону на всех англичан. Результатом стала катастрофа английской математики: англичане застряли в ньютоновском геометрическим стиле мышления, который сложно было использовать, а математики с континента использовали более формальный алгебраический метод и продвигали исчисление вперед быстрыми темпами. Поэтому большая часть заслуг в математической физике ушла к французам, немцам, швейцарцам и голландцам, а английская математика томилась в тихой заводи.

Дифференциальное уравнение – что это?

Важнейшей идеей, порожденной изобилием трудов об исчислении, стало существование и использование принципиально нового типа уравнений – дифференциальных уравнений. Алгебраические уравнения описывают неизвестную величину с разными степенями. Дифференциальные же гораздо более изощренны: они описывают различные производные от неизвестной функции.

Законы движения Ньютона говорят о том, что если y(t) – высота, на которой частица движется над поверхностью Земли, подвергаясь силе тяготения, то вторая производная d²y

/dt² пропорциональна воздействующей на нее силе g:

где m – масса. Это уравнение не определяет функцию

y напрямую – оно показывает свойства ее второй производной. Чтобы найти саму y, необходимо решить дифференциальное уравнение. Дважды последовательно интегрируя, получим:

где b – исходная высота частицы, a – начальная скорость. Формула говорит нам, что график, описывающий изменение высоты y

относительно времени t, представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Это наблюдение сделал еще Галилей.

Параболическая траектория снаряда

ЧТО ИСЧИСЛЕНИЕ ДАЕТ НАМ

Современная наука изобилует дифференциальными уравнениями: они оказались наиболее распространенным способом моделирования законов природы. Например, без них не обходится построение траектории полета исследовательских космических зондов, таких как «Маринер», направленный на Марс, или два корабля «Пионер», исследовавших Солнечную систему и предоставивших ученым превосходные снимки Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна, или доставленные на Марс марсоходы «Спирит» и «Оппортьюнити» – шестиколесные роботы, исследовавшие Красную планету.

Марсоход «Спирит» (художественное воспроизведение, НАСА)