Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Уравнение волны очень важно для науки. Волны возникают не только в музыкальных инструментах, но и в физике света и звука. Эйлер открыл трехмерный вариант уравнения, который приложил к звуковым волнам. Примерно веком позже Джеймс Клерк Максвелл получил такое же математическое выражение из своих уравнений, описывающих электромагнитные волны, и предсказал существование радиоволн.

Колебания поверхности круглого барабана, а также настоящей гитары

Земное притяжение

Еще одна область приложения ДУЧП – притяжение, или теория потенциала. Главной движущей силой развития теории стало изучение силы тяжести – Земли и любой другой планеты. Ньютон представлял планеты как идеальные сферы, хотя их истинная форма ближе к эллипсоиду. И хотя сила притяжения к сфере одинакова с притяжением к точечной частице (для расстояний, выходящих за границы сферы), это нельзя сказать об эллипсоидах.

Колин Маклорен совершил важный рывок в этой области в удостоенном награды труде от 1740 г. «Трактат о флюксиях», изданном в 1742 г. Его первым шагом был поиск доказательства того, что если жидкость однородной плотности вращается с постоянной скоростью под влиянием своей силы тяжести, то наиболее равновесной формой обязательно будет сфероид – эллипсоид вращения. Затем он изучил силы притяжения, создаваемые таким сфероидом, но не очень успешно. Главным результатом было то, что если у двух эллипсоидов одинаковые фокусы и частица находится либо на экваториальной плоскости, либо на оси вращения, то сила притяжения любого сфероида будет пропорциональна их массе.

Эллипсоид

В 1743 г. Клеро продолжил работу над этой проблемой, опубликовав свой труд «Теория фигуры Земли, извлеченная из принципов гидростатики». Но настоящий прорыв совершил Адриен-Мари Лежандр. Он доказал основное свойство, характерное не только для сфероида, но для любого тела вращения. Если вам известна сила тяготения по всей длине оси вращения, вы можете вычислить ее в любой другой точке. Метод Лежандра позволял представить силы тяжести как интеграл в сферических полярных координатах. Умело обращаясь с этим интегралом, он выразил его величину как композицию сферических гармоник, которые определяются специальными функциями, получившими название многочленов Лежандра. В 1784 г. он продолжил работу в этой области, доказав много основных свойств открытых им многочленов. Фундаментальным ДУЧП в теории потенциала является уравнение Лапласа. Его можно найти в пятитомнике «Небесной механики», которую он начал издавать в 1799 г. Схожие идеи уже возникали у его предшественников, но именно Лаплас придал им четкость и завершенность. Уравнение имеет вид:

где V

(x, y, z) – потенциал точки (x, y, z) в пространстве. Интуитивно он пришел к выводу, что величина потенциала в любой заданной точке составляет среднюю величину от размеров крошечной сферы вокруг нее. Уравнение действительно и вне границ тела: внутри него необходима модификация. Это выражение ныне известно как уравнение Пуассона.

Тепло и температура

Успехи в изучении звука и силы тяготения побудили математиков обратить взор и на другие физические явления. Одним из самых притягательных было тепло. В XIX в. наука о теплопередаче приобрела практичную основу, главным образом из-за нужд развивающейся металлообрабатывающей промышленности и благодаря возросшему интересу к внутренней структуре Земли, в частности температуре внутри планеты. Измерить напрямую температуру в областях, расположенных в тысячах километров под земной корой, тогдашними методами, конечно, было невозможно. Оставалось найти косвенные пути, основанные на знании того, как тепло распространяется в телах разной консистенции.

В 1807 г. Жозеф Фурье представил свой доклад о путях распространения тепла Французской академии наук, но его не утвердили из-за серьезных недоработок. Чтобы подтолкнуть ученого к дальнейшим исследованиям, Академия даже учредила к 1812 г. Большую премию за изучение теплопроводности. Поскольку о награде стало известно заранее, Фурье уже в 1811 г. успел оформить свои идеи в виде доклада на соискание премии и выиграл ее. Но его труд всё равно жестоко критиковали за недостаток логической строгости, и Академия не разрешила его публиковать в виде научной статьи. Фурье, в ярости из-за такого отношения, написал труд «Аналитическая теория тепла», изданный в 1822 г. Туда почти полностью и без изменений вошел доклад 1811 г., но было и много новых материалов. Наконец в 1824 г. ученого оценили по заслугам: он был избран секретарем Академии и уже без помех опубликовал в виде научной статьи свой доклад от 1811 г.