Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

имеет тенденцию становиться все меньше и меньше по мере увеличения i (значение этого выражения не уменьшается монотонно; оно лишь проявляет общее снижение с ростом P), потому что при больших простых числах его числитель становится много меньше знаменателя. Это означает, что разность последовательных простых чисел (чисел, стоящих в числителе) растет медленнее, чем значения самих этих чисел, что и приводит к уменьшению отношения. Хотя в первых строках списка есть некоторая нестабильность, если рассмотреть общую тенденцию, можно увидеть, что промежутки между простыми числами становятся все меньше по сравнению с самими этими числами.

Прямая дорога к докторской степени

Несмотря на многолетние исследования, аспектов простых чисел, которых мы не

понимаем, все еще гораздо больше, чем понятных нам.

Вот лишь некоторые из (множества) задач, которые, насколько мне известно, до настоящего времени никто не решил. Может быть, вы захотите попытаться найти их решение. Могу вам гарантировать, что, если вы решите даже одну из них, вы немедленно получите докторскую степень по математике и прославитесь. А если вы еще учитесь в школе или университете, решение этих задач принесет вам полное освобождение от всех дальнейших уроков или лекций. Таковы хорошие новости.

Плохие же новости по-настоящему плохи. В том, что никому до сих пор не удалось решить эти задачи, нет ничего случайного. Они исключительно сложны! Трудно представить себе, сколько усилий математики потратили на попытки их решить. «Бесплатных завтраков не бывает», – говорят нам наши экономисты. Я бы еще добавил к этому, что «не бывает и роскошных банкетов, которые обходились бы дешево».

Близнецы, тройняшки, кузены и сексуальные простые числа

Два простых числа считают близнецами, если их разность равна 2. Например, пары (3, 5), (5, 7), (11, 13), …, (431, 433)… – это пары чисел-близнецов.

Бесконечно ли количество простых чисел-близнецов?

Из одного того, что количество простых чисел бесконечно, не следует, что ответ на этот вопрос должен быть утвердительным.

Триплеты простых чисел: мини-опрос

Перед вами триплет простых чисел{16}: (3, 5, 7). Докажите, что это единственная возможная «тройка близнецов».

Простые кузены

Пары простых чисел, разность которых равна 4, – например (3, 7), (7, 11), (19, 23), …, (223, 227), – называют двоюродными простыми числами или кузенами. Бесконечно ли количество таких пар?

Сексуальные простые числа

Пары простых чисел, отличающихся на 6, называются по-английски sexy primes

[20], то есть «сексуальными простыми числами». Ну и представления о сексуальности у этих математиков! Вот некоторые из победителей на конкурсе самых сексуальных пар: (5, 11), (7, 13), (11, 17), (17, 23), (23, 29), …, (191, 197)…

Вы только посмотрите, какое тут царит распутство! Партнер числа 5, число 11, состоит в связи еще и с 17, а то заигрывает с 23, а оно изменяет ему с 29. Но число 29 хранит верность 23. Сколько тут сюжетных возможностей для поистине кошмарного любовного романа!

Конечно или бесконечно количество простых чисел-близнецов, простых кузенов или сексуальных пар, никто не знает.

Примечание для математиков: сходимость обратных значений простых чисел

Рассмотрим следующий ряд, состоящий только из простых чисел-близнецов:

(1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + … + (1/857 + 1/859)…

В 1915 г. норвежский математик Вигго Брун доказал теорему, которая стала знаменитой и носит теперь его имя. В этой теореме Брун показал, что приведенный выше ряд сходится, и его сумма равна приблизительно 1,9 (1,90216…).

Если бы этот ряд расходился, мы бы точно знали, что количество пар чисел-близнецов бесконечно. Однако тот факт, что он сходится, абсолютно ничего не говорит нам о конечности или бесконечности количества пар близнецов.

Если бы мы могли доказать, что сумма этого ряда не может быть выражена дробью – такие числа называются иррациональными, – это также решило бы задачу, так как означало бы, что существует бесконечно много пар простых чисел-близнецов (сумма конечного количества рациональных чисел всегда равна рациональному числу). Однако эта сумма рациональна, что опять же не проливает света на вопрос о бесконечности (или конечности) чисел-близнецов. Вскоре я расскажу нематематикам о рациональных и иррациональных числах.

Ряд для двоюродных простых чисел выглядит так:

(1/7 + 1/11) + (1/13 + 1/17) + (1/19 + 1/23) + …

Он сходится к сумме, приблизительно равной 1,197 (1,1970449…).

Устойчивые простые числа