Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Математика – это музыка логики.

Джеймс Джозеф Сильвестр

В число наиболее пылких поклонников Кантора входили Бертран Рассел (1872–1970){27} и Давид Гильберт, который назвал теорию множеств Кантора «величайшим произведением математического гения и человеческой мысли».

Никто не изгонит нас из того рая, который создал для нас Кантор.

Давид Гильберт

Рай Кантора – это рай для дураков. Его теория смехотворна и совершенно бессмысленна.

Людвиг Витгенштейн

Очевидно, даже величайшие философы иногда несут чушь.

Апология Кантора

Моя теория прочна как скала; любая стрела, выпущенная в нее, быстро вернется к своему лучнику. Почему я в этом уверен? Потому что я изучал ее со всех сторон на протяжении многих лет; потому что я исследовал все возражения, которые когда-либо выдвигались против бесконечных чисел; а прежде всего потому, что я проследил, так сказать, ее корни до исходной и несомненной первопричины всего сотворенного.

Георг Кантор

Сегодня значение теории множеств Кантора очевидно всем тем, кто имеет дело с высшей математикой. Современные варианты теории множеств, развившиеся в результате его первопроходческих исследований, служат теперь основой значительного числа математических теорий, разработанных в XX в.

Пора и нам познакомиться с теорией множеств Георга Фердинанда Людвига Филиппа Кантора.

Введение в теорию множеств. Что такое множество?

В этом и следующих разделах мы попытаемся понять центральные идеи канторовой теории множеств. Начнем с самого фундаментального понятия – множества. Что такое «множество»?

Вот интуитивное определение, которое служило математикам на самой заре эпохи теории множеств:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖЕСТВА

Любой набор объектов.

Это определение кажется слишком общим. В нем даже нет требования, чтобы у объектов, составляющих множество, было нечто общее. Поэтому неудивительно, что со временем это определение породило немало проблем.

Как можно определить множество? Один из способов сводится к перечислению всех входящих в него объектов. Например, А = {Густав Малер, Густав Климт, Гюстав Эйфель, Густав Холст, Густаво Дудамель, Гюстав Доре, Густаво Бокколи, Гюстав Курбе, ураган «Густав», Густав V Шведский}. В этом множестве ровно десять элементов, и у всех этих элементов есть одно общее свойство – наличие слова «Густав» в той или иной форме.

Но общих черт может и не быть. Вот другой пример совершенно добропорядочного множества: B = {1729, a, 4, {4}, Пушкин, Пушкаш, $, множество}. Это попросту множество из восьми, по-видимому, случайных объектов, перечисленных выше.

Важно иметь возможность сказать, является или не является тот или иной объект элементом определенного множества. Шведский математик Магнус Густав Миттаг-Леффлер не входит в множество А, хотя в его имени и есть слово «Густав», потому что он не определен как элемент этого множества. А вот знак доллара входит в множество В, потому что он включен в список элементов этого множества.

Этот метод – то есть перечисление всех элементов – оказывается не слишком подходящим для определения, скажем, множества всех четных чисел. Поэтому при определении множества можно применять другой прием – использовать многоточие. Тогда мы сможем определить множество четных чисел: E = {2, 4, 6, 8…}. Однако «правило», обозначенное многоточием, не всегда бывает ясным и общепонятным. Посмотрите, например, на следующее множество: T = {1, 3, 6, 10, 15…}. Это множество треугольных чисел (дополнительную подсказку дает буква, выбранная для обозначения этого множества). Но это может быть очевидно не всем. Впрочем, даже те, кто не знаком с концепцией треугольных чисел, могут догадаться, как продолжить этот ряд.

Но так бывает не всегда. Вот еще один пример: F = {1, 3, 9, 33, 153…}. Какие значения должны стоять на месте многоточия? Вы догадались?

Вот ответ:

1! = 1;

1! + 2! = 3;

1! + 2! + 3! = 9;

1! + 2! + 3! + 4! = 33;

1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153.

Следовательно, следующее число будет

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! = 873

и так далее.