Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

А вот множество всех «не-кроликов» – это множество второго типа, к которому относятся множества, содержащие самих себя. Множество «не-кроликов» – тоже не кролик. Аналогичным образом «множество всех объектов, которые можно описать при помощи ровно одиннадцати слов» – тоже множество второго типа. Необычное свойство этих множеств заключается в том, что они сами обладают свойствами, которых требует определение их элементов. Проще говоря, они содержат сами себя в качестве элементов. Представьте себе, например, множество всех идей, которые можно вообразить. Это множество содержит в качестве одного из своих элементов и само себя: очевидно, множество всех идей, которые можно помыслить, – тоже идея. Этот второй тип множеств принято обозначать буквой R, в честь Рассела. Другими словами, любое множество, которое может содержать само себя в качестве элемента, называется сейчас множеством типа R[44]. Любое множество может быть только обычным или расселовским, что означает, что никакое конкретное множество, предположительно, не может быть в одно и то же время множеством обычным и множеством расселовским.

Но так ли это на самом деле?

Рассмотрим множество всех обычных множеств. Назовем это множество М. И тут нас ожидает сюрприз: множество М – не обычное множество, но и не расселовское. Сейчас объясню.

Если бы М было обычным множеством, тогда его следовало бы включить в качестве элемента в множество обычных множеств, то есть в множество М. Но тогда М будет элементом М, а значит, М не может быть стандартным множеством, потому что оно содержит само себя и, следовательно, относится к расселовским множествам. Мы пришли к противоречию.

Вместе с тем, если М – расселовское множество, значит, оно не принадлежит к «множеству обычных множеств». Но это и есть множество М! Снова получается противоречие.

Как можно видеть из всего этого, исходное «интуитивное» определение множества, которое Кантор сформулировал на естественном языке в так называемой «наивной теории множеств», может приводить к неразрешимым парадоксам. Поэтому теперь используются другие методы определения множеств.

Из всего этого можно сделать следующие выводы:

1. Неограниченное применение интуитивного определения понятия множества может порождать нежелательные парадоксы.

2. Не следует устанавливать такие правила, которые люди не могут выполнять.

3. Множество всех «не-кроликов» слишком велико, чтобы его можно было обсуждать.