Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Например, у числа 3/2 числитель больше знаменателя; следовательно, ему должен быть предоставлен номер 3² – 2 + 1, то есть номер 8. Можете убедиться сами: если начать с пары (1, 1) и следовать по стрелкам (см. приведенный выше чертеж), то клетка с парой (3, 2) будет восьмой на этом пути.

Администратор была вне себя от счастья. Она даже запустила новую рекламную кампанию под лозунгом «Мы бесконечно рады всем!».

Профессор Финкельштейн-Островский-Канторович отметил, что существует огромное количество разных способов расселения в гостинице рациональных чисел:

– Вот один из этих способов. Определим для каждой дроби n/m «высоту», равную сумме числителя и знаменателя этой дроби. Другими словами, пусть высота h дроби n/m равна n + m. Наименьшая такая высота равна 2, причем есть только одна дробь с такой высотой – а именно 1/1. Есть два рациональных числа, высота которых равна 3; это числа 1/2 и 2/1. У чисел 1/3, 2/2 и 3/1 высота h = 4, а таких чисел, для которых h = 5, существует четыре: 1/4, 2/3, 2/3, 4/1. Таким образом, все рациональные числа можно расположить в порядке возрастания их высоты{28}.

Головоломка

Докажите, что по предложенной выше схеме расселения число n/m будет жить в номере, соответствующем выражению ½ · (n + m – 2) (n + m – 1) + n.

Например, число 2/3 (n = 2, m = 3) окажется в номере ½ · (2 + 3 – 2) (2 + 3 – 1) + 2 = 8.

Подсказка:

Слава о гостинице, которая способна разместить любую группу постояльцев, широко разошлась. Не имело значения, какая приезжала группа, конечная или бесконечная; не имело значения, были ли уже в гостинице другие жильцы; даже не имело значения, были ли все номера в гостинице уже забронированы. Как только приезжала новая группа постояльцев, им всем можно было найти место.

Но однажды случилось нечто, чего Омега совершенно не ожидала. Утром этого дня по электронной почте пришло сообщение с дальней планеты Дельта-Континуум: в гостиницу собирались приехать все числа, расположенные между 0 и 1. Администратор гостиницы, разумеется, знала, что между 0 и 1 заключено «довольно много» чисел, например³√3/2, е⁶ – π – π⁵, 1/2, 3/156, е/47, (5 + 13√2)/213… Тем не менее она не предполагала, что расселение всех их вызовет какие-либо затруднения. Разве в гостинице уже не жило бесконечное количество бесконечных множеств? Что же может быть трудного в размещении всего одной-единственной бесконечной группы?

Но затруднения возникли, и все ее попытки их устранить не дали никакого результата. Ей ничего не оставалось, как снова обратиться за помощью к профессору Финкельштейну-Островскому-Канторовичу или Сигме и Лямбде. Омега решила позвонить профессору. К ее удивлению и разочарованию, заслуженный профессор не только не смог предложить решения, но и установил, что решения у этой задачи попросту нет.

– А если выселить из гостиницы все натуральные числа? Не поможет ли это? – все же не сдавалась Омега.

– Ничуть не поможет, – уверенно отвечал профессор.

– Как же может быть, что в бесконечной гостинице, тем более пустой, не хватит места для одной-единственной группы постояльцев? – по-прежнему не желала мириться с этой неприятной новостью Омега.

– Не упрямьтесь, – сказал профессор. – Вместо того чтобы искать способы расселения этих чисел, позвольте, я докажу вам, что в бесконечной гостинице не найдется места не только для всех чисел между 0 и 1, но даже и для всех чисел, записанных с использованием только цифр 0 и 1.

– Вы серьезно? – спросила администратор.

– Профессор Финкельштейн-Островский-Канторович всегда серьезен, когда говорит о математике или музыке, – ответил он, говоря о себе в третьем лице.

– Ну хорошо. Тогда извольте объясниться. – И Омега приготовилась выслушать его объяснение.

Объяснение профессора Финкельштейна-Островского-Канторовича

– Прежде всего мы должны договориться, что записываем все числа в бесконечной нотации. Я хочу сказать, что вместо 0,101 мы будем писать 0,101000… Теперь начнем с предположения, что нам все же удалось решить эту задачу, и мы смогли найти в гостинице номера для всех чисел.

– Я полагаю, вы собираетесь показать мне доказательство от противного, не так ли? Как это типично для математиков! – сказала Омега.

– Вот как будет выглядеть распределение чисел по номерам: число А₁ будет в номере 1, число А₂ – в номере 2, число А₃ – в номере 3 и так далее. Кто же такие все эти «А»? Мы сможем узнать их, потому что под своими «новыми» именами они будут выглядеть следующим образом:

A₁ = 0,a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄a₁₅…

A ₂ = 0,a₂₁a₂₂a₂₃a₂₄a₂₅…

A ₃ = 0,a₃₁a₃₂a₃₃a₃₄a₃₅…

A ₄ = 0,a₄₁a₄₂a₄₃a₄₄a₄₅…

A ₅ = 0,a₅₁a₅₂a₅₃a₅₄a₅₅…

..……………………