Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Как сравнить размеры разных множеств? Больше ли количество капель воды в Атлантическом океане, чем число возможных позиций на шахматной доске? Больше ли число мелодий, которые можно сочинить, чем количество рациональных чисел между 0 и 1? Как узнать, что в одном множестве содержится меньше элементов, чем в другом, если речь идет о множествах, чрезвычайно больших или даже бесконечных? В каком случае можно сказать, что два множества имеют одинаковые размеры? Легко ли отличить очень большую группу от бесконечной? О проблемах, которые могут возникнуть, если мы примем чрезвычайно большое множество за множество бесконечное, знал еще Архимед. В трактате под названием «Псаммит» (то есть «Исчисление песчинок») великий сиракузянин решил найти верхний предел, ограничивающий число песчинок, имеющихся во Вселенной.

Некоторые люди полагают… что число песка по величине бесконечно; я говорю… о том [песке], который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества

[45].

Архимед

Архимед установил, что число песчинок во Вселенной ограничено сверху числом 10⁶³, и доказал таким образом ошибочность обоих предыдущих утверждений.

Через много лет после того, как Архимед завершил свои расчеты, а именно в 1938 г., английский астрофизик, астроном и математик сэр Артур Стэнли Эддингтон прочитал в кембриджском Тринити-колледже лекцию, в которой заявил:

Я полагаю, что во Вселенной существует 15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366231 425 076 185 631 031 296 протонов и такое же количество электронов.

Это огромное число известно теперь под названием «число Эддингтона». Выглядит оно весьма эффектно, но не имеет никакого отношения к бесконечности.

Как писали в книге «Математика и воображение» (Mathematics and Imagination, 1940) математики Эдвард Казнер и Джеймс Ньюмен, необходимо понимать, что «очень много» и «бесконечность» – две совершенно разные концепции. Нет такой точки, в которой крупная звезда становится бесконечной. Мы можем записать сколь угодно большое число, и оно будет не ближе к бесконечности, чем числа 1 или 7.

Интересно отметить, что именно в упомянутой выше книге впервые появилось слово «гугол». Это название для числа, записывающегося в виде единицы, за которой следуют сто нулей, предложил племянник Казнера Милтон, которому было тогда девять лет. Кстати говоря, от искаженного написания слова «гугол» произошло и название Google.

Тот же необычный мальчик предложил и термин «гуголплекс» – название числа, образованного из единицы и очень многих нулей: «Гуголплекс должен состоять из 1, за которой пишут нули, пока не устанет рука». Сегодня гуголплексом называют число, гораздо более точно определенное: 10^гугол. Даже не пытайтесь представить себе это число. Астроном и писатель Карл Саган (1934–1996) отмечал в своем телесериале «Космос: Личное путешествие», что записать гуголплекс невозможно в связи с одной очень серьезной проблемой: в наблюдаемой Вселенной не хватит места для всех его цифр.

Тем не менее даже гуголплекс бесконечно далек от бесконечности. На самом деле это число ничуть не ближе к бесконечности, чем 1 или 7, да и любое другое число, которое вы можете назвать.

Даже число, равное гуголплексу в степени гуголплекса остается определенно конечным. Я буду называть это число пухплексом в честь своего любимейшего друга, милого, пухлого медвежонка Винни-Пуха. Если даже гуголплекс превосходит всякое человеческое воображение, то что уж говорить о пухплексе? Вы можете придумывать сколь угодно большие числа и даже давать им названия по своему вкусу. Можно возвести пухплекс в степень пухплекса, а потом подумать о факториале получившегося числа – одна только попытка осознать размеры таких чисел вызывает у меня головную боль – и все равно эти числа будут конечными и останутся не менее далеки от бесконечности, чем число 7.

Вернемся же к разговору о бесконечности.

8

Кардинальные числа и укрощение бесконечности

О футболистах и манекенщицах

(одно-однозначное соответствие)

Вернемся к вопросу о том, когда можно считать, что два множества имеют одинаковые размеры.