Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Поскольку Омеге было неловко еще раз беспокоить Лямбду и Сигму – в их профессиональные обязанности входила уборка номеров, а не советы по стратегическим вопросам, – она решила (поскольку у нее не было особого выбора) обратиться за помощью к главному математику системы Апейрон (в которой находится планета Проксима-Инфинитас) профессору Финкельштейну-Островскому-Канторовичу.

Пожилой, но энергичный профессор заявил, что проблема только кажется сложной, но на самом деле это не так:

– Благодаря человеку по имени Евклид, который жил когда-то на очень отдаленной маленькой голубой планете под названием Земля, эту задачу можно решить сравнительно легко, – сказал профессор с тройной фамилией.

– Что же сделал этот Евклид? – спросила администратор гостиницы.

– Он доказал, что количество простых чисел бесконечно, – ответил профессор.

– И как это поможет нам найти номера для всех постояльцев? – спросила Омега, явно сомневавшаяся в наличии какой бы то ни было связи между бесконечной природой простых чисел и возможностью организовать размещение всех участников конференции.

– Я объясню как можно проще, – пообещал Финкельштейн-Островский-Канторович. – Тот факт, что простых чисел существует бесконечно много, позволяет нам получить весьма простое решение задачи размещения всех рациональных чисел. Вот план наших действий. Мы будем распределять их по номерам, соответствующим простым числам, возведенным в последовательные степени, а именно:

Первое простое число – 2. Мы поселим число 1 в номере 2, а число 2 – в номере 2², число 3 получит номер 2³, число 4 будет жить в номере 2⁴… и так далее. Следующее простое число – 3, – продолжал профессор. – Поэтому дробь 1/2 поселится в номере 3, 2/2 – в номере 3², 3/2 – в номере 3³, 4/2 – в номере 3⁴ и так далее.

– Но ведь 2/2 равно 1, а число 1 уже живет в номере 1, – задумалась администратор гостиницы.

– В этом нет никакой проблемы, даже наоборот. Числу 1 достанется множество номеров, и оно выберет, в каком из них жить, – ответил профессор.

Теперь мы подходим к третьему простому числу, которое равно 5. Значит, числу 1/3 достанется номер 5. – Именно в этот момент администратор поняла, почему простые числа непременно нужно возводить в степени: дело в том, что номер 4 уже занят числом 2.

– 2/3 поселится в номере 5², – продолжал профессор, – дроби 3/3 будет выделен номер 5³… вы ведь уже поняли логику моего метода. Затем мы переходим к 7, четвертому простому числу. Идея остается той же. 1/4 получает номер 7, 2/4 – номер 7², 3/4 сможет вселиться в номер 7³ и так далее и так далее – снова и снова и снова. Эта схема расселения очень интересна, – добавил профессор. – Хотя имеется бесконечное число бесконечных групп постояльцев, и каждая из этих групп сама по себе способна целиком заполнить гостиницу, мы сумели разместить всех их. Причем… у нас по-прежнему остается бесконечное количество свободных номеров!

– Что?! – Администратор гостиницы не поверила своим ушам.

– Все номера, не соответствующие простым числам или степеням простых чисел, – например 1, 6, 10, 12, 14, 15, 18… – остаются совершенно пустыми.

Администратор, лишь мгновением раньше бывшая в восторге от того блестящего метода, который предложил для решения проблемы расселения профессор, снова впала в полнейшее отчаяние. Перед ней снова возникла проблема уровня заполненности гостиницы. Хороший администратор гостиницы просто не может позволить себе иметь бесконечно много (!) незанятых номеров. Что подумают хозяева гостиницы?

– Послушайте, – сказала Омега профессору, – одни только натуральные числа могут заполнить всю гостиницу, и так оно раньше и было. А теперь вы предлагаете какую-то безумную схему, по которой натуральные числа вместе с бесконечным количеством других бесконечных множеств, каждое из которых тоже могло бы заселить всю гостиницу, создают мне уровень заполненности гораздо ниже 100 процентов. По-моему, в этом нет никакой логики. Я, конечно, не специалист, но нет ли какого-нибудь способа, который позволил бы мне отчитаться начальству о значительно более высокой заполненности гостиницы?

– Что же, я думал, что решение будет гораздо более эффектным, если останется бесконечное число незанятых номеров. Но если вас интересует только уровень заполненности, я могу предложить другой вариант, в котором все номера будут заполнены на 100 процентов.

– Пожалуйста, расскажите мне о нем! – взмолилась Омега.

– Прежде чем я объясню это решение, нам нужно провести небольшую подготовку. Поставим в соответствие каждому рациональному числу пару чисел. Первым из них будет его числитель, а вторым – знаменатель. Например, числу 3/4 будет соответствовать пара чисел (3, 4). Каждое натуральное число n мы будем записывать в виде дроби n/1; тогда ему будет соответствовать пара (n, 1). Например, числу 7 соответствует пара (7, 1). Теперь расположим все эти числа следующим образом:

Отмечу для любителей алгебры, что в общем случае мы выделяем числу n/m

номер n² – m + 1, если n ≥ m, и номер (m – 1)² + n, если n < m.