Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Хадсон работала в области, которая объединяет геометрию и алгебру и называется (увы, мы не всегда придумываем изобретательные названия) алгебраической геометрией. Рене Декарт первым систематически использовал идею, что точки на плоскости можно представлять в виде пары чисел – абсциссы x и ординаты y, и это позволяет рассматривать геометрические объекты как алгебраические. Тогда окружность (множество точек, находящихся на определенном расстоянии от данной точки-центра) – это, например, множество пар чисел (x, y), таких, что x

² + (y – 5)² = 25[359]. Ко времени работы Хадсон сочетание алгебры и геометрии стало самостоятельным предметом и исследовало не только кривые на плоскости, но и фигуры в пространствах любых размерностей. Хадсон была ведущим специалистом в области так называемых преобразований Кремоны[360]

для двух- и трехмерных тел и в 1912 году стала первой женщиной, прочитавшей лекцию на Международном конгрессе математиков.

Если я скажу, что преобразование Кремоны – это «бирациональный автоморфизм проективного пространства», то это будет простым швырянием фонем в вашу сторону, так что позвольте мне пойти другим путем. Что такое ⁰/₀? Наверное, когда-то вы узнали, что нужно отвечать «неопределенность»; это верно, но это также выход для трусов. На самом деле все зависит от того, какие нули вы делите! Каково отношение площади квадрата размером ноль на ноль к его периметру? Разумеется, вы можете сказать, что это не определено, но почему бы не проявить смелость и не определить это? Если сторона квадрата равна 1, то отношение равно ¹/₄, или 0,25. Когда сторона уменьшается до

¹/₂ (и периметр равен 2), то отношение составляет ¹/₈. Если длина стороны 0,1, то отношение равно 0,01 / 0,4 = 0,025. Отношение становится все меньше и меньше, а это означает, что есть только один хороший ответ на вопрос, что произойдет, когда квадрат сожмется в точку: в этом случае 0 / 0 = 0. Теперь рассмотрим отношение длины отрезка в сантиметрах к длине отрезка в дюймах. Что будет с ним, если отрезок начнет сжиматься в точку? Поскольку дюйм равен 2,54 сантиметра, то это отношение составит 2,54 и для длинных, и для коротких отрезков, а потому, когда отрезок сожмется до точки, такое отношение ⁰

/₀ должно быть 2,54.

Вы можете последовать примеру Декарта и думать о паре чисел как о точке на плоскости. Точка (1, 2) находится на 1 правее и на 2 выше начала координат. Отношение ²/₁ – это наклон прямой, соединяющей точку (1, 2) и начало координат (0, 0). Когда точка расположена в самом начале координат (0, 0), нет никакой соединяющей прямой, поэтому нет и наклона. Простейший вид преобразования Кремоны – заменить плоскость очень похожей геометрией, где точка (0, 0) заменяется множеством точек – на самом деле бесконечным количеством точек! Каждая запоминает не только свое место (0, 0), но и наклон – как если бы вы отслеживали не только свое местоположение, но и направление, по которому туда добрались[361]. Подобное преобразование, когда одна точка превращается в бесконечное множество, называется раздутием. Хадсон изучала гораздо более сложные преобразования Кремоны в пространствах более высокой размерности; вы могли бы назвать их общей геометрической теорией присваивания значений тем «неопределенным» отношениям, от которых отказался бы более робкий вычислитель.

В 1916 году, в самом начале работы с Россом, Хадсон опубликовала целую книгу о построениях в стиле Евклида с помощью циркуля и линейки[362] – теми же инструментами Авраам Линкольн тщетно пытался квадрировать круг. Хадсон отличалась такой мощной геометрической интуицией, что ее работы иногда критиковали за недостаточность доказательств: для нее были очевидны вещи, которые стоило бы подкреплять в письменной форме для тех из нас, кто менее способен мысленно представлять геометрические поверхности. Нет никаких подтверждений, что Росс, несмотря на всю свою любовь к геометрии, как-то участвовал или интересовался работой Хадсон в сфере чистой математики. Возможно, это и к лучшему, потому что алгебраической геометрией занималось много итальянцев.