Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Первая статья Росса и Хадсон начинается с солидного списка ошибок из предыдущей работы Росса. Росс ссылался на то обстоятельство, что он был за границей, когда оттиски статьи прислали для проверки; я же предпочитаю думать, что Хадсон начала свое сотрудничество с Россом с ненавязчивого замечания об ошибках в работе, выполненной им до ее появления. О взаимодействии между ними известно очень мало: Росс упомянул Хадсон в своих мемуарах всего один раз, однако интересно представить отношения между этими двумя очень разными учеными. Росс обладал непомерными амбициями, Хадсон – глубинными знаниями математики. У Росса были звания, должности и награды, Хадсон в эпоху практически чисто мужского преподавательского состава была простым лектором. Если у Росса и были религиозные чувства, то он не придавал им большого значения; в жизни набожной Хадсон христианство было основополагающим. После публикации труда о преобразованиях Кремоны в 1927 году она, похоже, оставила математику и многие годы работала в студенческом христианском движении. Ее эссе 1925 года «Математика и вечность» – замечательный документ того интеллектуального мира, где вера и наука ощущали определенную необходимость оправдывать себя друг перед другом. «Мы можем думать о присутствии Бога на уроке алгебры[363], – писала Хадсон, – лучше, чем на кухне брата Лаврентия[364]; и в полном одиночестве в скромном уголке исследовательской работы – лучше, чем на вершине горы». Каждый математик, верующий или нет, поймет, что она имеет в виду в следующей сентенции, которую следует помнить:

Идеи чистой математики истинны[365], не приблизительны и не сомнительны; возможно, они не самые интересные или важные мысли Бога, но они – единственные, о которых мы точно знаем.

НЕ СЛИШКОМ ОБНАДЕЖИВАЕТ

Идеи Росса о росте эпидемии определялись базовым принципом – единственным, который лежит в основе всего математического прогнозирования: что произошло сегодня, произойдет и завтра. Все мрачные детали заключаются в выяснении того, что это означает на практике.

Вот самое простое, что это может означать. Предположим, носители заразного вируса в течение периода своей заразности (скажем, 10 дней) инфицируют в среднем двух человек. Если мы начали с 1000 зараженных, то через 10 дней будет примерно 2000 инфицированных. Исходная тысяча теперь не заразна, однако новые 2000 через 10 дней заразят примерно 4000, еще через декаду вирус подхватят около 8000 человек и так далее. В результате за первый месяц число заражений составит:

день 0: 1000;

день 10: 2000;

день 20: 4000;

день 30: 8000.

Такая последовательность называется геометрической прогрессией

, хотя связь с геометрией тут несколько туманна. Название дано по той причине, что каждый член последовательности является средним геометрическим между предыдущим и последующим. Но что означает «среднее» и почему оно геометрическое?

Среднее значение, к которому вы, вероятно, привыкли, отображается точкой, делящей отрезок числовой прямой ровно пополам. Среднее 1 и 9 – это число 5, так как 5 отстоит на 4 и от 1, и от 9. Такое среднее называется средним арифметическим (думаю, из-за того, что возникает в результате операций сложения и вычитания), а последовательность чисел, в которой каждый член является средним арифметическим между предыдущим и последующим, называется арифметической прогрессией.

Среднее геометрическое – это другой вид среднего. Чтобы узнать среднее геометрическое для 1 и 9, возьмите прямоугольник со сторонами длиной 1 и 9.

Среднее геометрическое – это длина стороны квадрата, площадь которого равна площади этого прямоугольника. (Греки очень любили думать о площадях в терминах квадратов; это была одна из причин, почему они пытались безуспешно квадрировать круг.) Среднее геометрическое было любимым у Платона; по некоторым сведениям, он считал[366] его самым истинным средним. Площадь нашего прямоугольника 1 × 9 = 9; если у квадрата та же площадь, то длина его стороны – число, которое дает 9 при умножении на себя. Это длинный способ сказать 3. Таким образом, 3 – это среднее геометрическое для чисел 1 и 9, и

1, 3, 9

образуют геометрическую прогрессию.

Сегодня мы обычно определяем среднее геометрическое другим, хотя и эквивалентным способом: среднее геометрическое двух чисел x

и z – это такое число y, что выполняется соотношение:

y / x = z / y[367].

Сравните эту четкую формулу со словесными узлами, которые пришлось закручивать Платону при объяснении геометрического среднего: