Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Попытаемся проквантовать свободные глюонные поля. Лагранжиан (янг-миллсовский) для свободного глюонного поля имеет вид

ℒ

₀

= -

1

∑

G

_0μν

G

_0a

 ,

^YM

4

^a

^μν

G

_0μν

= ∂

_μ

B

_0ν

 - ∂

_ν

B

_0μ

 ;

^a

 

^a

 

^a

(4.1)

здесь индекс 0 обозначает свободные поля. Выражение (4.1) аналогично лагранжиану, описывающему восемь невзаимодействующих электромагнитных полей. Оно инвариантно относительно свободных калибровочных преобразований:

B

_0μ

→ B

_0μ

- ∂

_μ

 .

^a

^a

^a

(4.2)

Рассмотрим проблемы и преимущества, связанные с калибровочной инвариантностью. В силу того что поля B определены неоднозначно, невозможно непосредственно проквантовать лагранжиан (4.1). В самом деле, предположим, что для этого применяется стандартная процедура канонического квантования. Определим импульсы, канонически сопряженные полям B⁰_a. Опуская индексы 0, обозначающие свободные поля, для импульсов π получаем выражения

π

_μ

(x) =

∂ℒ

_YM

 = G

_μ0

 ,

^a

∂(∂

₀

B

_aμ

)

^a

(4.3)

из которых видно, что нулевые компоненты импульсов π⁰_a(x) тождественно равны нулю. Канонические коммутационные соотношения записываются в виде

[π

_μ

(x),B

_ν

(y)]δ(x

₀

 - y

₀

) = -iδ

 

g

_μν

(x - y).

^a

^b

 

 

^ab

(4.4)

Нулевые компоненты полей B⁰_a(x) коммутируют со всеми операторами и, таким образом, являются c -числами.

В этом случае имеются две возможности. Первая состоит в выборе такой калибровки, в которой отсутствовали бы нефизические степени свободы. Но при этом явно нарушается лоренц-инвариантность. Вторая возможность заключается в том, чтобы все компоненты полей B^μ рассматривать единообразно. Поскольку при этом сохраняются нефизические степени свободы, возникает необходимость введения пространства с индефинитной метрикой. Отложим обсуждение физических калибровок до следующего параграфа и рассмотрим ковариантные калибровки.

Как известно из электродинамики (на данном уровне изложения различий между КХД и КЭД нет), нельзя наложить лоренцеву калибровку вида ∂_μB^μ_a = 0 и сохранить при этом ковариантные коммутационные соотношения. Поэтому приходится отказаться от рассмотрения соотношения ∂B = 0 как операторного уравнения. Введем пространство Гупты—Блейлера Χ_GB, в котором соотношение (4.4) принимается в приведенном выше виде. Покажем, что это приводит к возникновению в пространстве Χ_GB индефинитной метрики. Назовем физическими векторы, удовлетворяющие условию

⟨Φ

 

|∂

 

B

_μ

(x)|Φ

 

⟩=0 .

^ph

^μ

^a

^ph

(4.5)

Если теперь приравнять друг другу векторы, различающиеся на вектор с нулевой нормой, т. е. принять

|Φ

_ph

⟩∼|Φ'

_ph

= |Φ

_ph

⟩+|Φ

⁽⁰⁾

⟩ ,

(4.6)

где ⟨Φ⁰|Φ⁰⟩ = 0, то мы получим пространство физических векторов ℒ.

Чтобы сохранить соотношение (4.4), необходимо модифицировать лагранжиан (4.1), добавив к нему член -(λ/2)∑_a(∂_μB^μ_a)² (фиксирующий калибровку). Теперь выражение для лагранжиана принимает вид

ℒ

 

=

 -

1

∑

G

_μν

G

 

 -

λ

∑

(∂

 

B

_μ

)

²

.

^λYM

4

^a

^aμν

2

^μ

^a

 

^a

 

^a

(4.7)

Такая модификация не приведет к физическим следствиям, по крайней мере в случае свободных полей, так как матричные элементы добавленного члена по физическим векторам в силу условия (4.5) обращаются в нуль. Импульсы, канонически-сопряженные полям B, теперь имеют вид

π

_μ

(x) = G

_μ0

(x) - λg

_μ0

∂

 

B

_ν

(x) ,

^λa

^a

 

^ν

^a

(4.8)

и ни одна из их компонент не обращается в нуль. Следовательно, можно сохранить соотношение (4.4) без изменений. Но при этом возникает индефинитная метрика. Рассмотрим, например, соотношение (4.4) при μ = 0:

λ[∂

 

B

_μ

(x),B

_ν

(y)]δ(x

 

- y

 

)=iδ

 

δ

 

δ

 

(x-y) .

^μ

^a

^b

⁰

⁰

^ab

^0ν

⁴

(4.9)

Это соотношение оказывается знаконеопределенным. Чтобы убедиться в этом, перейдем в импульсное пространство. Положим калибровочный параметр λ = 1 и введем канонические тетрады ε^(p)(k), связанные с некоторым светоподобным вектором k:

ε

₍₀₎

^μ

=δ

_μ0

;

ε

_(i)

⁰

=0,

^⃗

ε

⁽ⁱ⁾

⋅

^⃗

k=0,

i=1,2,

ε

₍₃₎

^μ

=

1

k

⁰

k

_μ

-δ

_μ0

;

ε

_(i)

ε

_(j)μ

 = -δ

 

, i,j = 1,2,3.

^μ

 

^ij

(4.10)

Компоненты ε⁽ⁱ⁾(i=1,2) соответствуют физическим частицам с нулевой массой, ε³ представляет собой продольную компоненту, а компонента ε⁰ соответствует объекту со спином нуль. Поля B можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид

B

_μ

^b

(x)

=

1

(2π)

^3/2

∫

d

^⃗

k

2k

⁰

 

∑

^p

{

e

^-ik⋅x

ε

^(ρ)μ

(k)a

_ρ

(b,k)

+

e

_ik⋅x

ε

_(p)μ

(k)

_*

a

₊

(b,k)

}

.

 

 

 

^p

(4.11)

Используя соотношения (4.4), получаем следующие коммутационные соотношения для операторов a и a⁺:

[a

 

(b,k),a

₊

(b',k')] = -g

 

δ

 

2k

₀

δ(

^⃗

k-

^⃗

k'),

^μ

^ν

^μν

^bb'

(4.12)

из которых видно, что вакуумное среднее ⟨0|a₀(k)a⁺₀(k)|0⟩ в рассматриваемой нами калибровке отрицательно.

Исходя из соотношений (4.12), можно вычислить пропагатор калибровочного поля B. Введя обозначение

⟨TB

_μ

(x)B

_ν

⟩

 

= D

_μν

(x),

^a

^b

⁰

^ab

глюонный пропагатор при произвольном значении параметра λ можно записать в виде

D

_μν

(x) = δ

 

i

∫

d

⁴

ke

^-ik⋅x

-g

^μν

+(1-λ

^-1

)k

^μ

k

^ν

/(k

²

+i0)

.

^ab

^ab

(2π)

⁴

k

²

+i0

(4.13 a)

Для вакуумного матричного элемента использовано сокращенное обозначение

⟨fg…h⟩

₀

≡⟨0|fg…h|0⟩,