Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Начнем с рассмотрения аксиальной калибровки. Лагранжиан, записанный в аксиальной калибровке, имеет вид

ℒ

 

∑

{

i

q

D

q - m

 

q

q

}

 -

1

(D×B)

₂

-

1

(n⋅B)

₂

.

ⁿ

^q

4

 

2β

 

 

^q

(5.13)

В дальнейшем по параметру β подразумевается предельный переход β→0, так что условие (5.12) представляет собой операторное соотношение, выполненное на всем гильбертовом пространстве. Пропагатор, соответствующий лагранжиану (5.13), записывается в виде

i

-g

^μν

-k

^μ

k

^ν

(n

²

+βk

²

)/(k⋅n)

²

+ (n

^μ

k

^ν

+n

^ν

k

^μ

)(n⋅k)

^-1

;

k

²

+i0

(5.14)

в пределе β→0 он принимает вид

i

-g

^μν

-n

²

(k

^μ

k

^ν

/(k⋅k)

²

) + (n

^μ

k

^ν

+n

^ν

k

^μ

)/(k⋅n)

.

k

²

+i0

(5.15)

Обобщение теории на аксиальные калибровки нетривиально; детальное изложение этой процедуры заинтересованный читатель найдет в работе [185]. Все вычисления в аксиальных калибровках мы будем проводить только на однопетлевом уровне, на котором трудностей не возникает.

При рассмотрении светоподобных калибровок удобно ввести так называемые "нулевые" координаты, определяемые для любого вектора v в виде

v

^±

=

1

2

(v

⁰

±v

³

),

v

⎧

⎩

v¹

v²

⎫

⎭

; v

^a

=v

^±

или v

ⁱ

(i=1,2).

Метрика определяется следующим образом:

g

_+-

=g

_-+

=1,

g

₊₊

=g

_--

=0,

g

_ij

=-δ

_ij

,

i,j=1,2.

Отметим, что выполняются соотношения

v⋅w=v

₊

w

_-

+v

_-

w

₊

-

vw

=v

_a

w

^a

.

Для светоподобного вектора u "нулевые" координаты можно выбрать в виде u=0, u_-=0, u₊=1. Тогда дополнительное условие u⋅B=0 можно записать в виде

B

_a

(x)=0.

^-

(5.16)

Пропагатор в светоподобной калибровке определяется соотношением

i

P

^μν

(k,u)

 = i

-g

^μν

+(u

^μ

^ν

+u

^ν

k

^μ

)/(u⋅k)

,

k

²

+i0

k

²

+i0

(5.17)

которое представляет собой частный случай формулы (5.15) с вектором n=u, u²=0. В нулевых координатах выражение (5.17) можно переписать в следующем виде:

P

^aβ

=

-g

^aβ

+(δ

^a

_-

k

^β

+ δ

^β

_-

k

^a

)/k

_-

.

k

²

k

_a

k

^a

+i0

В качестве примера использования светоподобной калибровки рассмотрим глюонный пропагатор во втором порядке теории возмущений. В названной калибровке он имеет вид

Π

_μν

l,ab

=

-ig

²

C

_A

δ

_ab

∫

d

^D

k

⋅

1

2

(2π)

^D

k

^2(k+q)2

×

[

-(2k+q)

^μ

g

^αβ

+(k-q)

^β

g

^μα

+

(2q+k)

^α

g

^μβ

]

P

_αρ

(k,u)

×

[

-(2k+q)

^ν

g

^ρσ

+(k-q)

^σ

g

^νρ

+

(2q+k)

^ρ

g

^νσ

]

P

_σβ

(k+q,u) .

Будем рассматривать только расходящуюся и логарифмическую части. Это значительно упрощает вычисления, в результате которых получаем

Π

_μν

(q)

^l,ab

=

11C

_A

g

²

δ

_ab

(-q

²

g

^μν

+q

^μ

q

^ν

)

3×16π

²

+

{

N

_ε

-log(-q

²

)+постоянные члены

}

.

(5.18)

Видно, что это выражение поперечно. При этом нет необходимости вводить ду́хи. Интересно отметить, что пропагатор при условии (5.18) удовлетворяет трансцендентному уравнению

P

^μα

(q,u)

{

-q

²

g

_αβ

+q

_α

q

_β

}

P

^βν

(q,u)

 =

P

^μν

(q,u)

q

²

q

²

q

²

(5.19)

§ 6. Преобразования Бекши - Роуета - Стора

В предыдущем параграфе было показано, что если в лагранжиане КХД, записанном в лоренцевой калибровке, не учесть вклада ду́хов, то это приводит к нарушению унитарности S-матрицы в пространстве физических состояний. Но в силу калибровочной инвариантности теории свойство унитарности S-матрицы должно выполняться в любой калибровке. Очевидно, что данное нарушение связано с введением фиксирующего калибровку члена, который не обладает свойством калибровочной инвариантности. В таком случае можно задать вопрос: нельзя ли интерпретировать введение ду́хов как способ восстановить нарушенную калибровочную инвариантность лагранжиана? Доказательство справедливости данного утверждения составляет содержание настоящего параграфа.

Начнем с рассмотрения квантовой электродинамики^10a). Лагранжиан, записанный в ковариантной калибровке, имеет вид

^10a В изложении мы следуем работам [221, 222].

ℒ

^ξ

=

ψ

(i

D

 - m)ψ -

1

F

_μν

F

^μν

-

λ

(∂

_μ

A

^μ

)

²

,

4

2

(6.1)

где тензор F_μν и ковариантная производная D_μ определяются формулами

F

^μν

=∂

^μ

A

^ν

-∂

^ν

A

^μ

,

D

^μ

=∂

^μ

+ieA

^μ

.

Калибровочная инвариантность лагранжиана нарушается членом -(λ/2)(∂A)². Однако ее можно восстановить следующим способом. Добавим в лагранжиан (6.1) член вида

ℒ

_ω

=-½(∂

_μ

ω)∂

^μ

ω

(6.2)

соответствующий свободному безмассовому полю ω. Обобщим калибровочные преобразования таким образом, чтобы включить поля ω. Если определить параметры инфинитезимальных преобразований в виде θ(x)=εω(x), то поля, входящие в лагранжиан, преобразуются по формулам

ψ(x)→ψ(x)+ieεω(x)ψ(x),

A^μ→A^μ-ε∂^μω(x),

ω(x)→ω(x)-ελ_μA^μ(x).

(6.3)

Тогда С точностью до 4-дивергенции лагранжиан электродинамики, представляющий собой сумму лагранжианов ℒ^ξ и ℒ_ω:

ℒ

_ξ

=ℒ

_ξ

+ℒ

 

^QED

 

^ω

(6.4)