Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

которое будет неоднократно встречаться и в дальнейшем. Выражение для пропагатора D можно упростить, введя обозначение 1-1/λ=ξ. В импульсном пространстве выражение для пропагатора глюонного поля имеет вид

D

_μν

(k) = iδ

_ab

-g

^μν

+ξk

^μ

k

^ν

/(k

²

+i0)

 .

^ab

k

²

+i0

(4.13 б)

Особенно простой является калибровка Ферми - Фейнмана, которая соответствует значению параметра ξ=0. Иногда оказывается удобной поперечная калибровка, или калибровка Ландау, отвечающая значению ξ=1.

В действительности для случая λ≠1 выражение (4.13) должно быть подучено несколько иным способом, так как для физических безмассовых глюонов член k^μk^ν/k² обращается в бесконечность. Эту трудность можно обойти, приписывая глюонам некоторую фиктивную массу M. Тогда в импульсном пространстве пропагатор описывается выражением

D

_μν

(k,M) =

-g

^μν

+(1-λ

^-1

)k

^μ

k

^ν

/(k

²

-λ

^-1

M

²

+i0)

 iδ

_ab

,

^ab

k

²

-M

²

+i0

из которого в пределе M→0 следует выражение (4.13).

В квантовой электродинамике фотоны не испытывают самодействия, поэтому в рамках этой теории использование ковариантных калибровок не сопряжено с дополнительными трудностями и проводится на описанном выше уровне. Но в случае квантовой хромодинамики самодействие глюонов приводит к дальнейшим усложнениям. Этому вопросу посвящен следующий параграф.

§ 5. Унитарность, лоренцевы калибровки, духи, физические калибровки

1. Ковариантные калибровки

Следует помнить, что присутствие в пространстве состояний, в котором определены поля, нефизических векторов может привести к нарушению соотношения унитарности. Условие (2.7) или (2.8), выражающее унитарность S-матрицы, справедливо только в пространстве физических состояний. Определяя проекторы на физические состояния P соотношениями

P

H

_GB

=

L

 ,

P

²

=P

⁺

=P ,

(5.1)

Условия унитарности (2.7) или (2.8) можно записать во всем пространстве в виде

(PSP)(PSP)

⁺

= P.

(5.2)

Если лагранжиан эрмитов, то S-матрица унитарна в пространстве Χ_GB, поэтому условие (5.2) будет выполнено только в том случае, когда S-матрица коммутирует с оператором P. В описанных в предыдущем параграфе калибровках это соотношение справедливо для квантовой электродинамики и не справедливо для КХД, так как, за исключением случая g = 0, калибровочные преобразования в КХД приводят к самодействию глюонов. Это означает, что лагранжиан

ℒ

^ξ

=

∑

{i

q

D

q - m

_q

q

q} -

1

(D×B)

²

-

λ

(∂B)

²

, ξ=1-1/λ ,

4

2

 

^q

(5.3)

полученный добавлением к выражению (3.5) члена, фиксирующего калибровку, не полон, и его следует изменить.

Для того чтобы понять, какие члены необходимо еще ввести в лагранжиан (5.3), проследим, как нарушается соотношение (5.2) в частном случае калибровки Ферми - Фейнмана. Рассмотрим процесс рассеяния кварка и антикварка во втором порядке теории возмущений.

Фейнмановские диаграммы, дающие вклад в этот процесс, приведены на рис. 1. Вычисление диаграмм рис. 1, 6 и в несложно; трудности возникают лишь при обработке диаграммы рис. 1, а. Вычислим диаграмму рис. 1, а в пространстве размерности D (см. § 7), а затем перейдем к физическому пределу D→4. Соответствующая амплитуда (см. направления импульсов на рис. 1, а) имеет вид⁶⁾

⁶Диаграмма рис. 1, д, часто называемая глюонным "головастиком", не дает вклада в амплитуду рассеяния, так как в размерной регуляризации ∫d^Dk(k²+i0)^-1≡0 (см § 7).

Рис. 1. Диаграммы qq-рассеяния (а- в), глюонная петпя (г) и глюонный "головастик" (д).

Τ

₄

=

-g

²

∑

v

_k

γ

_μ

u

_i

t

_a

-ig

^μ'μ

Π

_aa'μν

-ig

^ν'ν

u

'

_k'

γ

_ν

v'

_i'

t

_a'

δ(P

_i

-P

_j

),

(2π)

²

^tr

q

²

q

²

^tr

(5.4 а)

где

Π

_μν

(q)

=

-ig

²

∑

ƒ

^abc

ƒ

^a'bc

∫

d

^D

k

⋅

1

2

(2π)

^D

k

²

(k+q)

²

^aa'

×

{[

-(2k+q)

_μ

g

 

+(k-q)

 

g

_μ

+(2q+k)

 

q

_μ

]

 

_aβ

_β

_a

_a

_β

×

[

-(2k+q)

_ν

g

_aβ

+(k-q)

_β

g

_νa

+(2q+k)

_a

g

_νβ

]}

.

 

(5.4 б)

Используя соотношение ∑ƒƒ=δ^aa'C_A (см. приложение В) и произведя стандартные выкладки, получаем для тензора Π^μν_aa' следующее выражение:

Π

_μν

=

δ

_aa'

C

_A

g

²

32π

²

^aa'

×

{[

19

N

_ε

+

1

-

∫

₁

dx(11x

²

-11x+5)log(-x(1-x)q

²

)

]

q

²

g

^μν

6

2

⁰

-

[

11

N

_ε

 +

2

 -

∫

₁

dx(-10x

²

+10x+2)

3

3

⁰

×

log(-x(1-x)q

²

)

]

q

^μ

q

^ν

}

;

N

_ε

≡

2

 -

γ

_E

 +log 4π ,

 ε = 4-D → 0 .

ε

(5.5)

Оно расходится в пределе ε→0, но нас сейчас беспокоит не эта расходимость. Соотношение унитарности требует выполнения равенства Im Τ=(1/2)ΤΤ⁺. Но Im Τ получается из выражения (5.4) заменой тензора ∏ на его мнимую часть Im ∏, которая, согласно (5.5), имеет вид

Im Π

_μν

(q) =

 δ

_aa'

C

_A

g

²

 θ(q

²

)

{

-

19

q

²

g

^μν

+

22

q

^μ

q

^ν

}

,

^aa'

32π

²

6

6

(5.6)

и конечна даже при D = 4. Она должна быть равна величине

½

∑

⟨

q

q|

Τ

|c,phys.⟩⟨c,phys.|

Τ

⁺

|

q

q

⟩ ,

 

^c,phys.

т.е. квадрату амплитуды процесса qq→BB с физическими глюонами BB (рис. 2). Используя правила Фейнмана, легко видеть, что выражение для такой амплитуды аналогично выражению для Im Τ c заменой мнимой части поляризационного оператора Im Π^aa_μν(q) на комбинацию

δ

_aa'

C

_A

∑

Α

_μ

(k

₁

,k

₂

;η

₁

η

₂

)

Α

^*

_ν

(k

₁

,k

₂

;η

₁

η

₂

)

 

^η₁,η₂

 

^k₁+k₂=2

(5.7 a)

Рис. 2. Мнимая часть величины Τ.