Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

где параметр η=± 1 обозначает физические значения спиральностей глюонов, а функции Α_μ имеют вид

Α

^μ

=

[(k

 

+q)

 

 g

_μ

-(q+k

 

)

 

 g

_μ

+(k

 

-k

 

)

_μ

 g

 

]

¹

^β

^α

²

^α

^β

²

¹

 

^αβ

×

ε

_α

(k

 

,η

 

)ε

_β

(k

 

,η

 

) .

^p

¹

¹

^p

²

²

(5.7 б)

Здесь ε_p - вектор поляризации испущенного физического глюона, заданный выражением

ε

_α

(k,η)=

1

 {ε

_(1)α

(k) + iηε

_(2)α

(k)} ,

^p

√

2

содержащим тетрады ε⁽ⁱ⁾, определяемые аналогично выражениям (4.10). Для физического глюона выполняется условие поперечности k_αε^α_p(k,η) = 0, k² = 0, поэтому выражение (5.7б) можно записать в виде (напомним, что q = k₁ + k₂)

Α

_μ

=[2k

 

g

_μ

-2k

 

+(k

 

-k

 

)

_μ

g

 

]ε

_α

(k

 

,η

 

)ε

_β

(k

 

,η

 

).

 

^1β

^α

^1α

²

¹

 

^αβ

^β

¹

¹

^p

²

²

Легко убедиться в справедливости равенства q_μΑ^μ = 0. Очевидно, что условию унитарности в пространстве состояний физических глюонов удовлетворить нельзя. В самом деле, из формулы (5.6) следует

q

 

Π

_μν

(q) ≠ 0.

^μ

^aa'

Конечно, противоречие возникло из-за того, что лагранжиан переводит физические состояния в нефизические. На это впервые обратили внимание Де Витт [94] и Фейнман, решение проблемы для некоторых частных случаев было предложено Фейнманом [118], а для общего случая - Фаддеевым и Поповым [113]. Идея заключается в следующем. Нужно ввести дополнительные нефизические частицы (ду́хи), обращающие в нуль нефизические состояния, порождаемые лагранжианом ℒ^ξ_int. Таким образом, мы модифицируем лагранжиан ℒ^ξ, добавляя в него члены, отвечающие ду́хам, в результате чего полный лагранжиан ℒ^ξ_all принимает вид

ℒ

_ξ

=ℒ

_ξ

+

∑

(∂

 

ω

(x))(δ

 

∂

_μ

-gƒ

 

B

_μ

(x))ω

 

(x) ,

^all

 

^μ

^ab

 

^abc

^c

^b

(5.8)

где лагранжиан ℒ^ξ определен формулой (5.3). Поля ω и ω, обладая нулевым спином, подчиняются статистике Ферми — Дирака^6a). Эти поля не появляются в начальных или конечных состояниях (по предположению они нефизические), поэтому несоответствие их спина и статистики не должно вызывать беспокойства.

^6a Иногда удобно, хотя и не обязательно, считать поля ω и ω взаимно сопряженными. Более подробно вопрос о ду́хах обсуждается в § 41, 42.

Рис. 3. Петля ду́хов.

Продолжим рассмотрение свойства унитарности S-матрицы, введя в лагранжиан член, описывающий вклад духов. Так как духи взаимодействуют лишь с глюонами, они изменяют только диаграмму рис. 1, а, которая приводила к нарушению унитарности. Выражение для тензора Π приобретает возникающую за счет ду́хов добавку, для которой после простых вычислений (рис. 3) получаем следующий результат:

Π

_μν

^(Ghost)aa'

=

δ

_aa'

C

_A

ig

²

∫

d

^D

k

⋅

k

^μ

(k+q)

^ν

(2π)

^D

k

²

(k+q)

²

=

δ

_aa'

g

²

C

^A

{[

1

N

_ε

+

1

 

-

∫

¹

dx⋅x(1-x)log(-x(1-x)q

²

)

]

q

²

g

^μν

32π

²

6

6

₀

-

[

-

1

N

_ε

+2

∫

¹

dx⋅x(1-x)log(-x(1-x)q

²

)

]

q

^μ

q

^ν

}

.

3

₀

Суммируя вклады глюонов и духов и используя формулы интегрирования, приведенные в приложении Б, находим для поляризационного оператора Π окончательное выражение

Π

_μν

=δ

_aa' 

g

²

C

_A

(-g

^μν

q

²

+q

^μ

q

^ν

)

{

-

10

N

_ε

-

62

 +

10

log(q

²

)

}

,

^(all)aa'

32π

²

3

9

3

(5.9)

которое, очевидно, удовлетворяет условию поперечности

q

_μ

Π

μν

=

q

_ν

Π

μν

= 0.

(all)aa'

(all)aa'

(5.10)

Проверку унитарности мы оставляем читателю в качестве простого упражнения. Далее в тексте индекс all мы опускаем и рассматриваем лагранжиан КХД, записанный в ковариантной (лоренцевой) калибровке, т.е.

ℒ

_ξ

=

∑

{

i

q

D

q-m

 

q

q

}

 -

1

(D×B)

₂

 -

λ

(∂B)

^q

4

 

2

^q

^QCD

 

+

∑

(∂

 

ω

 

)(δ

 

∂

_μ

- gƒ

 

B

_μ

)ω

 

,

^μ

^a

^ab

 

^abc

^c

^b

ξ

=

1-1/λ

(5.11)

Начиная со следующего раздела, в обозначении лагранжиана ℒ индекс КХД мы также будем опускать.

2. Физические калибровки

Появление ду́хов вызвано тем, что оператор проекции на физические состояния P не коммутирует с лагранжианом КХД, записанным в лоренцевой калибровке. Может оказаться, что такой проблемы не возникнет, если выбрать калибровку, в которой все глюонные состояния соответствуют физическим, так что все гильбертово пространство полей является физическим. Известно, что уже на уровне квантовой электродинамики невозможно одновременно удовлетворить условиям положительной энергии, локальности и явной лоренц-инвариантности. Поэтому возникает необходимость использования нековариантной калибровки. Одной из нековариантных калибровок является кулоновская калибровка⁸⁾, однако она тоже не свободна от ду́хов. Необходимость введения ду́хов исчезает, если потребовать выполнения соотношений

⁸ Более того, кулоновская калибровка вносит дополнительные усложнения. Формулировка КХД в кулоновской калибровке изложена в статье [69].

n⋅B=0,

n

²

≤0.

(5.12)

Случай пространственноподобного вектора n(n²<0) соответствует аксиальным калибровкам⁹⁾, а случай светоподобного вектора n(n²=0) — светоподобной калибровке¹⁰⁾. Так как вектор n является по отношению к задаче внешним его введение нарушает явную лоренц-инвариантность промежуточных вычислений, хотя, конечно, калибровочная инвариантность обеспечивает независимость окончательных результатов для физических величин от вектора n, а следовательно, и их лоренц-инвариантность.

⁹ Аксиальные калибровки обсуждаются в работе [185]. См. также цитируемую там литературу.

¹⁰ См., например, работу [247] и цитируемую там литературу.