Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В дальнейшем будет предполагаться инвариантность лагранжиана КХД относительно преобразований (3.1) (в действительности лагранжиан (1.11) обладает этим свойством по построению). Это требование приводит к тому, что поля в лагранжиане появляются в строго определенных комбинациях. Из последующего рассмотрения станет ясно, что лагранжиан (1.11) является фактически наиболее общим лагранжианом, инвариантным по отношению к преобразованиям (3.1) и не содержащим констант размерности массы в отрицательной степени (ср. с § 38 и следующими за ним параграфами).

Рассмотрим, как при калибровочных преобразованиях преобразуются производные от полей, например производная ∂^μq(x). Из (3.1в) вытекает следующий закон преобразования производной:

∂

_μ

q

_j

(x)→∂

_μ

q

_j

(x)

 

-

ig

∑

t

_a

θ

 

(x)∂

_μ

q

_k

(x)

^jk

^a

-

ig

∑

t

_a

(∂

_μ

θ

 

(x))q

_k

(x).

^jk

 

^a

Мы видим, что она преобразуется иначе, чем сами поля. Требование инвариантности лагранжиана по отношению к калибровочным преобразованиям приводит к тому, что все производные от полей должны появляться только в ковариантных комбинациях:

D

_μ

q

_j

(x)

≡

∑

{

δ

 

∂

_μ

-ig

∑

B

_μ

(x)t

_a

}

q

_k

(x);

 

 

^jk

 

^a

^jk

 

^k

 

^a

(3.2)

здесь D^μ - так называемая (калибровочная) ковариантная производная. Легко доказать ковариантный характер производной D^μ. С использованием матричных обозначений преобразование для ковариантной производной D^μq(x) имеет вид

D

_μ

q(x)

 

→

∂

_μ

(x)-ig

∑

t

_a

θ

 

(x)∂

_μ

q(x)

 

 

^a

-

ig

∑

t

_a

(∂

_μ

θ

 

(x))q(x)

-g

₂

∑

B

_μ

(x)

t

_a

t

_b

θ

 

(x)q(x)

 

 

^a

 

^a

 

 

^b

-

ig

∑

B

_μ

t

_a

q(x)

-ig

₂

∑

ƒ

_a

θ

 

(x)B

_μ

(x)q(x)

^a

 

 

^abc

^b

^c

+

ig

∑

(∂

_μ

θ

 

(x))t

_a

q(x).

 

_a

(3.3 a)

Учитывая равенства

t^at^b = t^bt^a + [t^a,t^b], [t^a,t^b] = i∑ƒ^abcc^c,

правую часть выражения (3.3a) запишем в виде

D

_μ

q(x)

 - ig

∑

t

_a

θ

 

(x)D

_μ

q(x),

 

 

^a

(3.3 б)

что и доказывает ковариантный характер преобразования производной D^μq(x). Аналогично коварианмый ротор поля B имеет вид⁵⁾

⁵ Очевидна аналогия тензора G^μν_a с тензором напряженности электромагнитного поля F^μν=∂^μA^ν - ∂^νA^μ

(D

_μ

×

B

_ν

)

 

≡G

_μν

=∂

_μ

B

_ν

+g

∑

ƒ

 

B

_μ

B

_ν

 .

 

 

^a

^a

 

^a

^abc

^b

^c

(3.4)

Теперь можно записать лагранжиан (1.11) в явно калибровочно-инвариантной форме. Опуская индекс КХД, для лагранжиана ℒ получаем выражение

ℒ=

∑

{

i

q

(x)

D

q(x)-m

 

q

(x)q(x)

}

 -

₁

(D×B)

²

 .

^q

⁴

 

^q

(3.5)

Член с (D×B)² представляет собой сокращенную запись лагранжиана калибровочных янг-миллсовских полей:

(D×B)

₂

≡G

₂

=

∑

G

_μν

G

 

 ;

ℒ

 

≡

 -

₁

(D×B)

₂

 .

 

 

^a

^aμν

^YM

⁴

 

 

^a

 

 

 

Важность свойства калибровочной инвариантности заключается в следующем. Во-первых, как ясно из доказательства соотношения (3.3), оно требует универсальности константы взаимодействия, т.е. одна и та же константа связи g описывает взаимодействие кварков с глюонами и самодействие последних. Во-вторых, как показал т’Хофт [248], неабелева теория перенормируема только в том случае, если она калибровочно-инвариантна. Наконец, в-третьих, Коулмен и Гросс [73] доказали, что только неабелева теория может обладать свойством асимптотической свободы.

На первый взгляд кажется, что выражение (3.5) можно сформулировать на квантовом языке, непосредственно интерпретируя классические поля как квантовые. Однако из квантовой электродинамики известно, что это не так. Калибровочная инвариантность приводит к тому, что поля B определены не однозначно, так как можно выполнить преобразования типа преобразований (3.1), которые меняют вид коммутационных соотношений. Это происходит потому, что частицы, соответствующие полям B, обладая нулевой массой, имеют только две степени свободы, тогда как сами поля B^μ имеют четыре независимые компоненты. Для того чтобы выполнить квантование, нужно выбрать определенные представления каждого калибровочного класса (фиксировать калибровку), что явно нарушает калибровочную инвариантность теории. По сравнению с абелевыми теориями, в которых кванты калибровочного поля не взаимодействуют между собой, самодействие глюонов приводит к дополнительным трудностям. Так, например, лоренц-ковариантные калибровки требуют введения вспомогательных нефизических полей^5a) (ду́хов), которые восстанавливают калибровочную инвариантность и унитарность. С другой стороны, можно выбрать калибровки, свободные от ду́хов (аксиальные калибровки), но при этом явно нарушается лоренц-инвариантность теории.

^5a Специфические калибровки с духами можно построить и для абелевых теорий

Прежде чем рассматривать квантовую теорию, для полноты изложения выпишем уравнения движения для классических полей, соответствующие лагранжиану (3.5). Уравнения движения Эйлера — Лагранжа для поля Φ определяются из условия стационарности действия Α=∫d⁴xℒ(x), которое записывается в виде

∂

_μ

∂ℒ

 =

∂ℒ

 ;

∂(∂

_μ

Φ)

∂Φ

и, следовательно, в случае лагранжиана (3.5) приводит к следующим уравнениям движения для полей q и В:

q

(x)(i

^⃖

D

+m)=0 ,

(i

D

-

m)q(x)

=

0

,

D

 

G

_μν

(x)

≡

∂

_μ

G

_μν

(x) + g

∑

ƒ

 

B

 

(x)G

_μν

(x) = 0 .

^μ

^a

 

^a

^abc

^bμ

^c

(3.6)

§ 4. Каноническое квантование, фиксация калибровки, ковариантные калибровки