Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Обобщение этой процедуры на случай спинорных или векторных полей производится весьма просто. Например, заменяя скалярную частицу a на фермион с импульсом р_а и спином σ и обозначая соответствующее ему поле буквой ψ, получаем

⟨a',b'|S|(p

_a

,σ),b⟩=

=

i

(2π)

^3/2

∫

d

⁴

x

⟨

a',b'

|

ψ

(x)

|

b

⟩(

^⃖

∂

+ m

_a

)u(p,σ)

e

^-ip_a⋅x

.

Наконец, перейдем к теореме Вика. Выражения типа (2.1б) позволяют вычислить в каждом порядке теории возмущений элементы S-матрицы (или матричные элементы токов и гриновские функции). При этом используется теорема Вика. Рассмотрим хронологическое произведение двух свободных полей TΦ⁰₁ (x)₁Φ⁰₂ (x)₂. Поля Φ_i можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид

Φ

_i

(x)

=

1

∫

d

^⃗

k

(2π)

^3/2

2k

⁰

×

∑

{

e

^-ik⋅x

ξ

₊

(k,σ)a

₊

(k,σ) + e

^ik⋅x

ξ

_-

(k,σ)a

₊

^-

(k,σ)

} ,

^σ

где σ обозначает спиновое состояние, ξ_± - соответствующие волновые функции, а a_± и a⁺_± - операторы рождения и уничтожения частиц (+) и античастиц (-). Коммутационные соотношения между операторами (символ [ , ] для фермионов должен интерпретироваться как антикоммутатор) имеют вид

[

a

 

(k,σ),a

₊

(k',σ')

]

^±

^±

=

 

2δ

_σσ'

k

⁰

δ(

^⃗

k

-

^⃗

k'

) ,

 

[

a

 

 ,a

₊

]

⁺

^-

=

0 ;

они могут быть использованы для проверки того, что разность между хронологическим и нормальным произведениями операторов

TΦ

₀

(x

 

)Φ

₀

(x

 

) -

:

Φ

₀

(x

 

)Φ

₀

(x

 

)

: ≡

Φ

₀

(x

 

)Φ

₀

(x

 

)

¹

¹

²

²

¹

¹

²

²

¹

¹

²

²

представляет собой c-число, называемое сверткой. Отсюда видно, что свертка совпадает с вакуумным средним от T-произведения (пропагатором):

Φ

₀

(x

 

)Φ

₀

(x

 

)

 =

⟨

0

|

TΦ

₀

(x

 

)Φ

₀

(x

 

)

|

0

⟩

 ≡

⟨

TΦ

₀

(x

 

)Φ

₀

(x

 

)

⟩

 

.

¹

¹

²

²

¹

¹

²

²

¹

¹

²

²

⁰

Повторяя эту процедуру многократно, скажем для выражения (2.1), получим, что хронологическое произведение Tℒ⁰_int…ℒ⁰_int можно записать в виде комбинации сверток, умноженных на нормально упорядоченные произведения операторов. Это утверждение и составляет содержание теоремы Вика. Матричные элементы от этих выражений легко вычисляются, и для каждого члена разложения S - матрицы по теории возмущений получается вполне определенный результат. Фейнмановские правила диаграммной техники автоматически учитывают все упомянутые выше требования и позволяют прямо по соответствующим фейнмановским графикам записать окончательный результат. Правила диаграммной техники для квантовой хромодинамики приведены в приложении Г (см. также § 42, в котором некоторые из них выводятся).

Глава II. КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА КАК ТЕОРИЯ ПОЛЯ

§ 3. Калибровочная инвариантность

Рассмотрим поля, введенные в гл. I при построении КХД, а именно цветовой триплет кварковых полей q¹(х) для кварка каждого аромата и октет глюонов В_а(х). Кварковые поля образуют фундаментальное представление группы SU(3), т.е. если U — унитарная унимодулярная матрица размерности 3×3, то поля q^j преобразуются по формуле

U

:

q

^j

(x) →

∑

U

_jk

q

^k

(x) .

^k

Любую матрицу U группы SU(3) можно записать, исходя из восьми генераторов алгебры Ли t^a (матрицы t^a приведены в приложении В), в виде

U

=

exp

{

-ig

∑

θ

_a

t

^a

}

,

 

^a

где θ_а — параметры группы, а множитель g введен для удобства. Представляя триплет q^j в виде трехкомпонентного столбца, получаем следующую формулу преобразования:

q(x) → e^-ig∑θ_ata q(x) .

Для полей B рассмотрим присоединенное (размерности 8) представление группы SU(3). Генераторами группы SU(3) на этом представлении будут матрицы C^a, матричные элементы которых имеют вид C^a_bc = -iƒ_abc (значения констант ƒ_abc приведены в приложении В). Поля B преобразуются по формуле

B^μ(x) → e^-g∑θ_aCaB^μ

Если параметры группы θ_a представляют собой константы, не зависящие от пространственно-временной точки x, то лагранжиан квантовой хромодинамики, выписанный в гл. I, оказывается инвариантным по отношению к глобальным преобразованиям группы SU(3)^3a), Однако, как мы знаем из квантовой электродинамики (КЭД), эти преобразования полезно обобщить на случай, когда параметры группы θ_a(x) зависят от пространственно-временной точки x. При этом (локальные) калибровочные преобразования определяются в виде

^3a Преобразования называют гпобальными, если определяющие их параметры группы представляют собой константы, независящие от пространственно-временной точки x. — Прим. перев.

q(x)

→

e

^{-ig∑θ_a(x)ta}

(3.1а)

Аналогично обобщаются обычные преобразования КЭД для калибровочных полей:

B

_μ

(x)

→

e

^{-ig∑θ_a(x)Ca}

B

^μ

(x) - ∂

^μ

θ(x)

,

(3.1 б)

или в случае инфинитезимальных преобразований θ

q

^j

(x)

→

q

^j

(x)

-

ig

∑

θ

_a

(x)

t

_a

^jk

q

^k

(x),

 

^a,k

(3.1 в)

B

_μ

(x)→B

_μ

(x)+g

∑

ƒ

 

θ

 

(x)B

_μ

-∂

_μ

θ

 

(x).

^a

^a

^abc

^b

^c

 

^a

 

^b,c