Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

инвариантен при преобразованиях (6.3). Метод восстановления калибровочной инвариантности для рассматриваемого случая довольно прост. Благодаря тому что поля A не заряжены и не взаимодействуют между собой, поля ω можно выбрать в виде свободных действительных полей. Однако простота лагранжиана ℒ_ω не означает отсутствия глубоких физических следствий его введения. В самом деле, можно показать, что преобразования (6.3) порождают все тождества Уорда квантовой электродинамики, которые, в частности, обусловливают тот факт, что электромагнитное взаимодействие не переводит физические состояния в нефизические. Например, будет показано, как из соотношений (6.3) и (6.4) можно получить условие поперечности фотонного пропагатора. (Конечно, его можно проверить и путем прямого вычисления вакуумной поляризации.)

Рассмотрим величину ⟨ΤA_μ(x)ω(0)⟩₀. Проведя обобщенное калибровочное преобразование, в первом порядке по параметру ε получаем

λ⟨ΤA_μ(x)(∂_νA^ν(0))⟩₀ = ⟨Τ(∂_μω(x))ω(0)⟩₀.

Фурье-образ этого выражения имеет вид

∫

d

⁴

xe

^iq⋅x

ΤA

^μ

(x)∂

_ν

A

^ν

(0)⟩

⁰

=

iq

_ν

∫

d

⁴

xe

^iq⋅x

⟨ΤA

^μ

(x)A

^ν

(0)⟩

₀

=iq

_ν

D

^μν

(q)

=

-1

∫

d

⁴

xe

^iq⋅x

⟨Τ(∂

^μ

ω(x))ω(0)⟩

₀

α

=

i

q

^μ

∫

d

⁴

xe

^iq⋅x

⟨Τω(x)ω(0)⟩

₀

λ

=

1

⋅

q

^μ

λ

q

²

+i0

(6.5)

Последнее равенство справедливо в силу того, что поля ω свободные, и, следовательно, их пропагатор имеет вид пропагатора свободных полей. Таким образом, доказано, что если пропагатор D^μν записать в виде суммы поперечной и продольной составляющих

D

^μν

(q)

 =

(-q

²

g

^μν

+q

^μ

q

^ν

)D

_tr

(q

²

)

 +

q

^μ

q

^ν

D

_L

(q

²

).

q

²

(6.6)

то последняя имеет вид

D

_L

 =

-1

⋅

i

λ

q

²

+i0

(6.7)

аналогичный продольной части пропагатора свободных полей. Напомним, что пропагатор свободных полей выражается в виде

D

^0μν

(q)

 =

i

-g

^μν

+(1-λ

^-1

)q

^μ

q

^ν

/(q

²

+i0)

.

q

²

+i0

Другими словами, если пропагатор D разложить в ряд по степеням константы взаимодействия

D

^μν

(q)

 =

D

^(0)μν

(q)

 +

e

²

D

^(2)μν

(q)

 + …,

4π

то все величины D^(n)μν удовлетворяют условию поперечности:

q_μD^(n)μν(q)=0, n=2,4,…,

которое эквивалентно соотношению (5.10).

Обобщением калибровочных преобразований (6.3) на случай неабелевой теории являются так называемые преобразования Бекши — Роуета — Стора (БРС) [32, 33]. При этом поля ду́хов, как и все другие поля, подвергаются калибровочным преобразованиям, в результате чего (с точностью до 4-дивергенции) полный лагранжиан квантовой хромодинамики (5.11) становится калибровочно-инвариантным. Такие преобразования приводят к тождествам Славнова [232] — Тейлора [244], представляющим собой аналог тождеств Уорда в квантовой электродинамике. Предполагается, что параметр инфинитезимальных преобразований БРС ε представляет собой не зависящую от пространственно-временной точки x c-числовую величину, антикоммутирующую (коммутирующую) с фермионными (бозонными) полями^10b). Инфинитезимальные преобразования БРС определяются в виде

^10b При этом ε²=0, εω=-ωε, εq=-qε, εB=-Bε и т.д. Следует помнить, что поля ω являются фермионными и подчиняются статистике Ферми-Дирака, так что справедливо соотношение ω_bω_c=-ω_cω_b.

B

_μ

→

B

_μ

- ε

∑{

δ

_ab

∂

^μ

-gƒ

_abc

B

_μ

}

ω

_b

,

^a

^a

^c

q→q - iεg

∑

t

^a

ω

_a

q,

ω

_a

→ω

_a

-

ε

 g

∑

ƒ

_abc

ω

_b

ω

_c

,

2

ω

_a

→

ω

_a

 + ελ

_μ

B

μ

.

a

(6.8)

Используя эти преобразования точно так же, как это делается в случае, квантовой электродинамики, легко получить результат, аналогичный формуле (6.7). Если записать пропагатор в виде суммы продольной и поперечной частей

D

μν

(q)=δ

_ab

(-g

^μν

q

²

+q

^μ

q

^ν

)D

_tr

+δ

_ab

q

^μ

q

^ν

D

_L

,

ab

q

²

(6.9)

то для продольной части имеем

D

_L

= -

1

⋅

i

λ

q

²

-i0

(6.10)

Разложим пропагатор D в ряд по степеням константы взаимодействия g²:

D

_μν

^ab

 

∑

ⁿ⁼⁰

⎧

⎩

g²

4π

⎫²

⎭

D

_(n)μν

^ab

.

Примем во внимание соотношение

D

_(2)μν

=

∑

D

_(0)μμ'

Π

₍₂₎

D

_(0)ν'ν

^ab

^aa'

^a'b'μ'ν'

^b'b

(поляризационный оператор Π⁽²⁾ взят во втором порядке теории возмущений). Из двух последних соотношений получаем следующий результат:

q

_μ

Π

_(2)μν

=0.

^ab

Справедливость этого равенства как раз и проверялась в уравнениях (5.9) и (5.10).

Необходимо отметить, что все проведенные выше выкладки выполнены чисто формальным образом. Так, например, в процессе вычислений мы намеренно закрывали глаза на то, что пропагаторы представляют собой сингулярные функции. Чтобы корректно установить равенства между величинами, необходимо проверить, что к ним можно применять процедуру перенормировок (см. § 7 — 9). В самом деле, некоторые формальные равенства при этом нарушаются; пример такого нарушения приведен в § 33. Однако даже сохраняющиеся при процедуре перенормировок равенства иногда приходится интерпретировать по-новому. Это относится, например, к уравнению (6.10), так как фигурирующий в нем калибровочный параметр заменяется на перенормированный, в результате чего смысл его несколько изменяется.

§ 7. Размерная регуляризация