Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Как мы видели в примере, приведенном в § 5, некоторые из амплитуд рассеяния оказываются расходящимися. Это происходит из-за сингулярного характера полевых операторов. Легко найти, что расходимость интеграла по dk в (5-46) при больших импульсах k обусловлена тем, что в координатном пространстве в него входят произведения полевых операторов, взятых в одной пространственно-временной точке. Поэтому, чтобы обсуждать квантовую хромодинамику (или любую другую локальную релятивистскую теорию поля), необходимо появляющимся при вычислении фейнмановских диаграмм интегралам придать математически строгий смысл. Эта процедура носит название регуляризации и сводится к замене лагранжиана ℒ регуляризованным лагранжианом ℒ^ε, приводящим при вычислении фейнмановских диаграмм к конечным ответам и в пределе ε→0 переходящим в некотором смысле в исходный лагранжиан ℒ, т.е. ℒ^ε→ℒ. Из классических работ Бора и Розенфельда [46, 47] известно, что полевые операторы по своей природе сингулярны, и, следовательно, любая процедура регуляризации с неизбежностью нарушает некоторые физические особенности теории. Например, регуляризация Паули — Вилларса в случае неабелевой теории нарушает свойства эрмитовости и калибровочной инвариантности, решеточная регуляризация нарушает инвариантность по отношению к преобразованиям Пуанкаре и т.д. Конечно, в пределе ε→0 эти свойства восстанавливаются (если мы были достаточно осторожны!). Свойства калибровочной и лоренц-инвариантности особенно важны в случае КХД, поэтому в дальнейшем мы будем использовать размерную регуляризацию, нарушающую лишь масштабную инвариантность. Этот метод, подробно развитый в работах т’Хофта и Велтмана [253] (см. также [48]), связан с так называемой аналитической регуляризацией [49, 233]. Он состоит в том, что все вычисления проводят в пространстве размерности D=4-ε, в конечном же ответе переходят к физическому пределу при ε→0. При этом расходимости проявляются в виде полюсов по 1/ε. Насколько известно автору, математически строгого определения объекта в пространстве произвольной размерности D не существует, кроме случая, когда она равна положительному целому числу. Но этому не следует придавать слишком большого значения; нам необходимы лишь интерполяционные формулы, обладающие свойством калибровочной и пуанкаре-инвариантности и пригодные для вычисления фейнмановских интегралов. Такие интерполяционные формулы можно получить поэтапно. Рассмотрим сначала сходящийся интеграл вида (2π)^D∫d^Dkƒ(k²), где функция ƒ, как правило, имеет вид ƒ(k²)=(k²)^r(k²-a²)^-m с целочисленными значениями параметров r и m, а величины d^Dk и k² определяются выражениями d^Dk=dk⁰dk¹…dk^D-1, k²=(k⁰)²-(k¹)²-…-(k^D-1)². Так как функция ƒ аналитична в плоскости комплексного переменного k⁰, контур интегрирования можно повернуть на 90° и перейти от контура (-∞,+∞), к контуру (-i∞,+i∞), т.е. совершить так называемый виковский поворот. Затем можно восстановить интегрирование по прямой (-∞,+∞), определив новую переменную k⁰→k^D=ik⁰. Таким образом, получаем обычный евклидов интеграл в пространстве размерности D

i

∫

^+∞

dk

¹

…

∫

^+∞

dk

^D

ƒ(-k

₂

),

 k

₂

≡

(k

¹

)

₂

+…+

(k

^D

)

₂

≡

|k

_E

|

²

.

_-∞

2π

_-∞

2π

^E

^E

Если элемент объема в D-мерном пространстве обозначить через d^Dk_E=dk¹…dk^D, то, вводя полярные координаты, его можно записать в виде d^Dk_E=d|k_E|⋅|k_E|^D-1dΩ_D . Используя формулу ∫dΩ_D=2π^D/2/Γ(D/2), получаем наконец

∫

d

^D

k

ƒ=

i

∫

^∞

d|k

_E

|⋅|k

_E

|

^D-1

ƒ(-|k

_E

|

²

).

(2π)

^D

(2π)

^D/2

Γ(D/2)

₀

Все приведенные выше выкладки справедливы только для целых положительных значений размерности D. Но последнюю формулу можно использовать для определения интеграла по пространству произвольной (даже комплексной) размерности D и произвольных значений параметров r и m.

Рассмотрим далее интеграл от полиномиального по компонентам импульса k^μ выражения, умноженного на функцию ƒ(k²); этот интеграл можно свести к ранее изученному случаю, записывая его, например, в виде

∫

d

^D

kƒ(k

²

)k

^μ

k

^ν

 =

g

^μν

∫

d

^D

kƒ(k

²

)k

²

.

D

Наконец, интеграл общего вида сводится к только что изученным интегралам разложением подынтегрального выражения в ряд по степеням аргумента k^μ. Таким способом можно вычислить интегралы, приведенные в приложении Б (а также многие другие), в пространстве произвольной размерности D. Например, нетрудно убедиться в справедливости результата

∫

d

^D

k

 -

(k

²

)

^r

 =

i

(-1)

^r-m

⋅

Γ(r+D/2)Γ(m-r-D/2)

(2π)

^D

(k

²

-a

²

)

^m

(4π)

^D/2

Γ(D/2)Γ(m)(a

²

)

^m-r-D/2