Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Если левая часть этого равенства расходится, скажем в физическом случае D=4, что и происходит при m-r-D/2≤0, это отражается в появ.лении полюсов в правой части равенства, связанных с полюсами гамма-функции Γ(m-r-D/2). Очевидно, что этот метод содержит в себе некоторый произвол, а именно правую часть равенства можно умножить на любую функцию φ(D) при условии, что она аналитична по D и удовлетворяет условию φ(4)=1. Такая свобода в выборе функции φ(D) оказывается весьма полезной (см. следующий параграф).

Посмотрим теперь, какие усложнения возникают в случае, когда взаимодействующие частицы обладают отличным от нуля спином. Внешние и внутренние линии фейнмановских диаграмм следует различать. Ниже будет показано, что после перенормировки функции Грина с отброшенными внешними линиями в рамках теории возмущений оказываются конечными в пределе D→4. Поскольку спиновые множители на внешних линиях (т.е. множители u, v, u, v, ε^μ; см. приложение Г) конечны в пространстве размерности D=4, их можно сразу записывать в пространстве физической размерности. Что же касается спиновых множителей на внутренних линиях, то нужно доопределить тензор g^αβ в пространстве размерности D таким образом, чтобы, например, выполнилось соотношение g^αβ=g_αβ=D и т.д. Аналогично необходимо рассматривать D матриц Дирака γ⁰, γ¹,…, γ^D-1. Если действовать последовательно, то приходится допустить, что матрицы γ^μ представляют собой матрицы размерности 2^D/2×2^D/2 (равной размерности соответствующей алгебры Клиффорда). Но это не обязательно. Калибровочная инвариантность вполне совместима со случаем, когда матрицы γ_μ имеют размерность 4×4, так что Τ_rγ^μγ^ν=4g^μν; именно эта ситуация рассматривается здесь. (Метод, связанный с размерной регуляризацией, называется размерной редукцией; дополнительную информацию о ней читатель может найти в работе [231].)

Таким образом, обобщение интегралов и алгебры матриц Дирака на случай произвольной размерности пространства D производится весьма просто. Сводка формул, встречающихся при практических вычислениях, приводится в приложениях А и Б. Несколько более сложным оказывается только введение матрицы γ₅ в D-мерном пространстве. Например, если матрицу γ₅ определить в виде γ₅=iγ⁰γ¹γ²γ³, то очевидно, что это выражение не определено в пространстве размерности D<4. Можно показать, что определение матрицы γ₅ в виде γ₅=iγ⁰…γ^D-1 не совместимо с калибровочной инвариантностью (см. § 33, в частности текст между уравнениями (33.17) и (33.20)). Подходящим является, по-видимому, следующее определение:

γ

₅

=

i

ε

_D

γ

^μ

γ

^ν

γ

^ρ

γ

^σ

,

4!

^μνρσ

где тензор ε^D совпадает с обычным антисимметричным тензором только в Случае D=4. На тензор ε^D не накладывается каких-либо дальнейших ограничений, кроме требования выполнения для любой размерности D условий

γ

₂

=1, Τ

_r

γ

₅

γ

^α

γ

^β

=0.

⁵

(см- приложение А). Таким образом, процедура размерной регуляризации полностью определена. До тех пор, пока размерность пространства, в котором проводится вычисление фейнмановских графиков, не равна целому числу, все возникающие при вычислениях интегралы оказываются конечными. В таком подходе сохраняется калибровочная и пуанкаре-инвариантность теории, но нарушается масштабная инвариантность.

Самый простой способ проследить за нарушением масштабной инвариантности состоит в следующем. При размерной регуляризации фейнмановский интеграл типа (5.4б) изменяется:

∫

d

⁴

k

 →

∫

d

^D

k

⋅

(2π)

⁴

(2π)

^D

При этом размерности полей и констант связи, входящих в подынтегральное выражение, отличаются от канонических. Но их можно сохранить каноническими, если воспользоваться следующим рецептом:

∫

d

⁴

k

 →

∫

d

⁴

k̂

≡

∫

d

^D

kν

_4-D

⁰

, D=4-ε,

(2π)

⁴

(2π)

^D

(7.1а)

где

k̂

^μ

=ν

_4/D-1

k

^μ

/2π.

⁰

(7.1б)

При этом вводится нарушающий масштабную инвариантность произвольный параметр ν₀, имеющий размерность массы.

В качестве первого примера применения этого метода вычислим пропагатор кварка в импульсном пространстве во втором порядке теории возмущений:

S

_ij

(p)=

∫

 

d

⁴

xe

^ip⋅x

⟨Τq

ⁱ

(x)

q

^j

(0)⟩

₀

.

^ξ

(7.2)

Соответствующие диаграммы приведены на рис. 4. В произвольной калибровке в пространстве размерности D = 4 — ε для пропагатора S имеем выражение вида

S

_ij

(p)

^Dξ

=

δ

^ij

i

 -

1

p

-m+i0

p

-m+i0

×

 

 

g

²

∑

t

_a

t

_a

Σ

₍₂₎

(p)

i

^il

^lj

^Dξ

p

-m+i0

 

^l,a

+

члены высших порядков,

(7.3а)

где введено обозначение

Σ

₍₂₎

(p)=-i

∫

d

^D

k̂

γ

_μ

(

p

+

k

+m)γ

_ν

⋅

-g

^μν

+ξk

^μ

k

^ν

/k

²

.

^Dξ

(p+k)

²

-m

²

k

²

(7.3 б)

Рйс. 4. Кварковый пропагатор (а) и итерация (б)

Используя тождество

k(p+k+m) = (p+k)²-m²-(p²-m²)-(p-m)-k,

для массового оператора получаем выражение

Σ

₍₂₎

(p)

^Dξ

=

-i

∫

d

^D

k̂

{

(D-2)(

p

+

k

)-Dm-ξ(

p

-m)

k

²

[(p+k)

²

-m

²

]

-

ξ(p

²

-m

²

)

 

k

}

.

k

⁴

[(p+k)

²

-m

²

]

После стандартных преобразований (пренебрегая членами, исчезающими в пределе ε→0) приходим к окончательному ответу

Σ

₍₂₎

(p)=(

p

-m)A

_Dξ

(p

²

) +

mB

_Dε

(p

²

);

^Dξ

(7.4 а)

A

_Dε

=

1

{

(1-ξ)N

_ε

-1-

∫

¹

dx[2(1-x)-ξ]log

xm

²

-x(1

 

-x)p

²

16π

²

₀

ν

²

₀

-

ξ(p

²

-m

²

)

∫

¹

dx

x

}

;

₀

m

²

-xp

²

(7.4 б)

B

_Dξ

=

1

{

-3N

_ε

+1+2

∫

¹

dx(1+x)log

xm

²

-x(1

 

-x)p

²

16π

²

₀

v

²

₀

-

ξ(p

²

-m

²

)

∫

¹

dx

x

₀

m

²

-xp

²