Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

(7.4 в)

Здесь введено обозначение N_ε=2/ε-γ_E+log4π.

В размерной регуляризации все полосы появляются именно в такой комбинации. Используя равенство

∑

t

_a

t

_a

=C

_F

δ

_ij

=

4

δ

_ij

^il

^lj

3

(см. приложение В), выражения (7.4) можно подставить в формулу (7.3) и получить кварковый пропагатор в виде

S

_Dε

(p)=i

{

p

-m+g

²

C

_F

Σ

⁽²⁾

}

^-1

;

(7.5 а)

S

_Dε

=

i

1-C

_F

g

²

A

_Dε

(p

²

)

 +члены высших порядков.

p

-m{1-C

_F

g

²

B

_Dε

(p

²

)}

(7.5 б)

В действительности нетрудно убедиться, что формула (7.5а) точно учитывает вклад всех диаграмм рис. 4 и при замене Σ⁽²⁾ на Σ^exact представляет собой наиболее общее выражение для пропагатора S. Из выражения (7.56) видно, что расходимости возникают от следующих членов:

1-C

_F

g

²

(1-ξ)N

_ε

(содержится в A

_Dε

)

16π

²

(7.6)

(на него умножается свободный пропагатор S) и

1+3C

_F

g

²

N

_ε

(содержится в B

_Dξ

)

16π

²

(7.7)

(на него умножается масса кварка m). Но оба эти множителя конечны при условии ε≠0.

Завершим данный параграф замечанием об инфракрасных расходимостях. В этой книге мы рассматриваем главным образом ультрафиолетовые расходимости, появляющиеся в пределе k→∞ и дающие особенности в виде полюсов гамма-функции Γ(ε/2). Но процедура размерной регуляризации позволяет также выделять полюсы, отвечающие инфракрасной расходимости и связанные с областью малых значений импульса k→0. Инфракрасные расходимости проявляются в вычислениях как особенности гамма-функции -Γ(ε/2). Детальное обсуждение этого вопроса можно найти в работе [134].

§ 8. Общие сведения о процедуре перенормировок

Рис. 5. Процесс рассеяния γ+u→νe⁺d и глюонные поправки к нему.

Рассмотрим следующий процесс. Фотон соударяется с u-кварком протона, а затем u-кварк за счет слабого взаимодействия распадается по схеме u→d+e⁺+ν (рис. 5). В низшем порядке по константам связи электромагнитного и слабого взаимодействий и в нулевом порядке по константе сильных взаимодействий g в рассматриваемый процесс дает вклад только диаграмма рис. 5,а. Возможные глюонные поправки описываются диаграммами рис. 5,б-г. Аргументом кваркового пропагатора S(р), фигурирующего в выражении для амплитуды рассеяния, является комбинация p=p_y+p_u (обозначения очевидны); следовательно, выражение для амплитуды рассеяния оказывается расходящимся, и никаких выводов о ее поведении, по крайней мере в рамках теории возмущений, сделать нельзя.

В действительности это не так. При построении теории была допущена некоторая неточность. Рассмотрим для простоты скалярное взаимодействие вида ψψφ, где поле φ безмассовое. Лагранжиан, описывающий систему взаимодействующих полей, имеет вид

ℒ=

ψ

(i

∂

-m)ψ + ½∂

_μ

φ∂

^μ

φ + g

ψ

ψφ .

(8.1)

Как уже говорилось выше, S -матрица определяется выражением

S

=

T exp i

∫

d

⁴

xℒ

₀

(x)

^int

=

 

_∞

1+

∑

i

ⁿ

∫

d

⁴

x

¹

…d

⁴

x

_n

Tℒ

₀

(x)

₁

…ℒ

₀

(x)

_n

,

n!

^int

^int

 

ⁿ⁼¹

(8.2)

где входящие в лагранжиан ℒ⁰_int(x) поля рассматриваются как свободные и записываются в нормально упорядоченной форме. Член ℒ⁰_int совпадает с трилинейным членом выражения (8.1) после замены ψ→ψ⁰, φ→φ⁰:

ℒ

₀

=

g:

ψ

⁰

ψ

⁰

:φ

⁰

.

^int

(8.3)

Но эта процедура некорректна. Очевидно, что поля, фигурирующие в выражении (8.1) не являются свободными, а их масса m не совпадает с массой, которую имеет поле ψ в отсутствие взаимодействий. Это видно из выражения (7.5) для кваркового пропагатора, в котором масса кварка заменена на комбинацию вида

m{1-

4

g

²

B

_D

},

3

а числитель умножен на выражение

1 -

4

g

²

A

_D

3

В силу свойства инвариантности теории по отношению к преобразованиям групп внутренней и пространственной симметрии допустимы лишь следующие изменения полей и параметров, фигурирующих в лагранжиане: изменения мультипликативного типа

ψ→Z

_-½

ψ

_u

, φ→Z

_-½

φ

_u

, g→Z

 

g , m→Z

 

m ,

^ψ

^φ

^g

^m

(8.4)

и изменения, вызванные добавлением в лагранжиан некоторых дополнительных членов. Можно показать, что в рассматриваемом случае скалярного взаимодействия необходимо еще добавить в лагранжиан член вида λ(φ)⁴. Но мы пока этим членом пренебрежем. Таким образом, принимая во внимание только (8.4), из формулы (8.1) получаем выражение для так называемого "перенормированного" лагранжиана

ℒ

_R

 

=

Z

_-1

ψ

 

i

∂

ψ

 

-Z

_-1

Z

 

m

ψ

 

ψ

 

+Z

_-1

∂

 

φ

 

∂

_μ

φ

^ψ

^u

^u

^ψ

^m

^u

^u

^φ

^μ

^u

 

^u

+

Z

 

Z

_-1

Z

_-½

g

ψ

 

ψ

 

φ

 

,

^g

^ψ

^φ

^u

^u

^u

(8.5)

откуда заключаем, что .лагранжиан взаимодействия, определяемый как разность ℒ_int=ℒ-ℒ_free в действительности имеет вид

ℒ

_R0

^int

=

:g

ψ

₀

ψ

₀

φ

₀

+(Z

_½

Z

_-1

Z

_-½

-1)g

ψ

₀

ψ

₀

φ

₀

^u

^u

^u

^g

^ψ

^φ

^u

^u

^u

+

(Z

_-1

-1)

ψ

₀

i

∂

ψ

₀

-(Z

_-1

Z

 

-1)m

ψ

₀

ψ

₀

^ψ

^u

^u

^ψ

^m

^u

^u

+

(Z

_-1

-1)∂

 

φ

₀

∂

_μ

φ

₀

:,

^φ

^μ

^u

 

^u

(8.6)

где ψ⁰_u и φ⁰_u - свободные поля, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям. Члены, содержащие множители (Z … — 1), называются контрчленами. Очевидно, что разложение этих членов в ряд по степеням константы связи g должно начинаться с единицы, так как при значении g=0 все перенормировочные множители Z равны единице. Поэтому перенормировочные множители можно представить в виде ряда

 

 

_∞

Z

_j

=1+

∑

C

_(n)

(

g

²

)

ⁿ

,

^j

16π

²

 

 

ⁿ⁼¹

(8.7)