Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Такая параметризация впервые была введена в рассмотрение Фейнманом и Филдом [122] и имела вид

ƒ

_a

(x,Q²)=C

_a

x

^λ_a

(1-x)

^ν_a

(24.1 а)

или с учетом полюсов Редже

ƒ

_a

(x,Q²)=(C

_a

x

^λ_a

+C

_'

^a

x

^μ_a

)

(1-x)

^ν_a

(24.1 б)

Полагая параметры C, λ и ν постоянными, получим бьеркеновский скейлинг.

В работе [57] было отмечено, что, введя зависимость параметров λ и ν от константы связи α_s в виде

λ=λ

₀

+λ

₁

log α

_s

,

ν=ν

₀

+ν

₁

log α

_s

,

можно вычислить коэффициент C (используя правила сумм, изложенные в § 23) как известную функцию параметров λ₀ , λ₁ , ν₀ , ν₁ , α_s . Затем нужно потребовать, чтобы рассматриваемая параметризация удовлетворяла, с одной стороны, уравнениям КХД для моментов, а с другой — экспериментально измеренным значениям структурных функций ƒ. Эти требования позволяют фиксировать значения параметров λ и ν .

Следующий шаг сделали Лопец и Индурайн [194] (они учли ведущий и следующий порядки теории возмущений), отметившие, что для вычисления параметров λ₁, (который оказывается равным нулю) и ν₁ можно использовать результаты § 23, п. 2. Таким способом получают исключительно простые параметризации для структурных функций. Они точно удовлетворяют интегральным соотношениям известных правил сумм. Уравнениям же эволюции КХД эти параметризации точно удовлетворяют только в конечных точках x=0 и x=1, а при промежуточных значениях x погрешность составляет менее 1%. В ведущем порядке теории возмущений искомые параметризации имеют вид

ƒ

_NS

²

(x,Q²)

=

⎧

⎨

⎩

B

_0NS

[α

_s

(Q²)]

^-d(1-λ)

(x

^λ

-x

^μ_NS(α_s)

)

+

A

_0NS

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

Γ(ν_0NS+1)

Γ(ν_NS(α_s)+1)

x

^μ_NS(α

_s)

⎫

⎬

⎭

(1-x)

^ν_NS(α_s)

,

(24.2 а)

ƒ

_F

²

(x,Q²)

=

⎧

⎨

⎩

B

_0F

[α

_s

(Q²)]

^{-d₊(1+λ_s)}

(x

^-λ_s

-x

^μ_F(α_s)

)

+

A

_0S

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

Γ(ν_NS+1)

Γ(ν_s(α_s)+1)

x

^μ_F(α_s)

⎫

⎬

⎭

(1-x)

^ν_s(α_s)

,

(24.2 б)

ƒ

_V

²

(x;Q²)

=

⎧

⎨

⎩

B

_0F

d₊(1+λ_s)-D_FF(1+λ_s)

D_FV(1+λ_s)

[α

_s

(Q²)]

^{-d₊(1+λ_s)}

×

(x

^-λ_s

-x

^μ_V(α_s)

)+

2

5

A

_0S

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

x

^-μ_ν(α_s)

Γ(ν_NS+1)

Γ(ν_S(α_s)+2)

⎫

⎬

⎭

×

(1-x)^ν_S(α_s)+1

1+|log(1-x)|

,

(24.2 в)

где

ν

_i

(α

_s

)=ν

_0i

-

16

33-2n_ƒ

log α

_s

(Q²) , i=S,NS ,

(24.2 г)

а параметр λ связан с траекторией Редже ρ соотношением λ≈1-α_ρ(0)≈0.5; величину μ можно выразить через другие константы, используя для этого правила сумм, изложенные в § 23. Таким образом, мы получили набор простых выражений, параметризующих три структурные функции: ƒ^NS₂ , ƒ^F₂ , ƒ^V₂ , исходя из семи параметров: ν_0NS , ν_0S , A_0S , A_0NS , B_0NS , B_0F , λ_s (кроме параметра обрезания Λ). Их следует выбрать так, чтобы вопроизвести экспериментальные результаты. На самом деле, даже не увеличивая числа параметров, можно вычислить и продольную структурную функцию ƒ_L . Поэтому тот факт, что удается добиться согласия с экспериментальными данными, является важной проверкой КХД⁴⁰⁾. Сравнение экспериментальных данных с теоретическими параметризациями представлено на рис. 19 а.

⁴⁰⁾ В частности, потому, что при этом можно утверждать, что значения параметров ν_0NS≈ν_0S≈2-2.5, 0<λ_S<1 согласуются с ожидаемыми.

Рис. 19а. Согласование структурной функции ƒ₂(x,Q²) с экспериментальными данными по μp-рассеянию [ 20] и величины s_l/s₁ с данными работ [16, 43]. Использованы параметризации (24.2), вкпючающие поправки второго порядка. Параметр обрезания Λ равен 100 МэВ. То же значение параметра Λ получено прямым вычислением в работе [20]. (Графики из неопубпикованной работы В. Escoubes, М.J. Herrero, С. Lopez, F.J. Yndurain.)

Обратимся теперь к методу точного восстановления структурных функций. Рассмотрим несинглетный случай и выполним замену переменной log x=-ξ. Тогда уравнения эволюции можно записать в виде

μ

_NS

(n,Q²)

=

∫

^∞

 

₀

𝑑ξ e

^-(n-1)ξ

ƒ

_NS

(e

^ξ

,Q²),

μ

_NS

(n,Q²)

=

⎡

⎢

⎣

α

_s

(Q

₂

⁰

)

α_s(Q

₂

  )

⎤^d(n)

⎥

⎦

μ

_NS

(n,Q

₂

⁰

),

(24.3)

и использовать известную теорему о свертках для преобразований Лапласа, чтобы обратить (24.3) и получить формулу

ƒ

_NS

(n,Q²)

=

∫

¹

 

_x

𝑑y b(x,y;Q²,Q

₂

⁰

)ƒ

_NS

(y,Q²),

где ядро уравнения b можно выразить через параметры γ и C^N. В ведущем порядке теории возмущений результат имеет вид [156]

b=b

⁽⁰⁾

(x,y;Q²,Q)

₂

⁰

)=

_∞

∑

^j=0

G

_j

(r)b

₀

(x,y;r+j),

r=

16

3β₀

log

α

_s

(Q

₂

⁰

)

α_s(Q

₂

  )

,

где

G

₀

(r)=1, G

₁

(r)=-

r

2

, G

₂

(r)=r

3r+14

24

, …,

Во втором, порядке теории возмущений получаем [150]

b=b

⁰

+

α

_s

(Q

₂

 

)-α

_s

(Q

₂

⁰

)

4π

b

⁽¹⁾

,

где

b

⁽¹⁾

(x,y;Q²,Q

₂

⁰

)=

₂

∑

^p=0

_∞

∑

^j=0

a

_pj

(r)b

_p

(x,y;r+j),

b

₁

=

⎧

⎨

⎩

ψ(r+j)-log log

y

x

⎫

⎬

⎭

b

₀

,

b

₂

=

⎧

⎨

⎩

⎡

⎢

⎣

ψ(r+j)-log log

y

x

⎤²

⎥

⎦

-ψ'(r+j)

⎫

⎬

⎭

b

₀

.

Наконец, коэффициенты a можно выразить через величины G:

a

_ij

=

_j

∑

^l=0

H

_pl

G

_j-l

(r);

таблицу значений H можно найти в работе [150].

Рис. 19 б. Согласование теоретических значений с экспериментальными данными по ν-рассеянию [87] с учетом поправок второго порядка теории возмущений КХД. Значение параметра Λ снижается с 400 ± 250 до 180 ± 130 МэВ при использовании заново проанализированных данных (см. Н. Abramowicz el al. CERN print EP/8l-168, 1981; будет опубликовано в Zs. Phys. С ).