Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Распространение на синглетный случай оказывается нетривиальным [149]. Степень согласия теоретических и экспериментальных результатов определяется единственным затравочным параметром ƒ(x,Q²₀), задаваемым при некотором фиксированном значении Q²₀ (лежащем, как правило, в интервале 2-3 ГэВ²). Результат представлен на рис. 19 б.

Другой метод состоит в прямом использовании уравнений эволюции Алтарелли—Паризи. С ним можно ознакомиться в работе [4].

§ 25. Поправки на массу мишени

Рассмотрим момент от несинглетной части структурной функции ƒ. В принципе ν_NS зависит не только от параметров n и a_s, но и от различных масс: массы мишени m_N, масс кварков m_q и, наконец, от непертурбативных масс, которыми пока будем пренебрегать. Массы кварков и мишени приводят к поправкам O(m²_q/Q²) и O(m²_N/Q²) соответственно. Как будет показано в § 32, массы кварков u, d и s малы; наибольшую массу имеет s-кварк: m̂_s≈0,3 ГэВ. С найденными значениями параметра обрезания Λ теория возмущений КХД едва ли будет иметь смысл при передачах импульса Q² < 1,5 ГэВ²; таким образом, даже на нижнем пределе поправки за счет массы s-кварка не будут превышать 5%. Тяжелые кварки приводят к поправкам иного порядка, так как их массы заметно больше: m_c≈1,5 ГэВ, а m_b≈5 ГэВ; но мы пока поправками за счет тяжелых кварков будем пренебрегать. Поправки, обусловленные массой мишени, порядка m²_N/Q², т.е. велики. В этом параграфе будет показано, каким образом можно учесть такие поправки.

Влияние поправок, обусловленных массой мишени, было оценено в работе [202]; это рассмотрение приводит к так называемому ξ-скейлингу. В своем изложении мы будем следовать методу, предложенному в статье [143]. Вспомним разложения (19.3) и (19.11). В общем случае они содержат члены еще двух типов; это члены, соответствующие операторам

g

^μν

q∂

D

^μ₁

…q и g

^μν

q

∂²γ

^ν₁

D

^μ₂

…q.

В случае свободных полей ∂q=im_qq ; следовательно, они приводят к поправкам порядка m²_q/Q², которыми мы сейчас пренебрегаем. Но члены

⟨p|N

_{μνμ1…μn}

^NS

(0)|p⟩=g

^μ_iμ_j

…g

^μ_lμ_m

p

^μ_k'n-m

(p²)

^m

A

'

_n

^NS

,

как мы вскоре убедимся, дают поправки ∼m²_N/Q². Раньше мы пренебрегали и этими поправками; сейчас же мы сосредоточим на них внимание. Рассмотрим оператор N^μ₁…μ_n ; ниже будет проведена замена индексов n→n+2 и μ_n+1→μ , μ_n+2→ν. Благодаря симметрии по индексам оператора N его матричные элементы можно записать в следующем общем виде ( n — четное число):

i⟨p|

_μ1…μn

^NS

(0)|p⟩

=

_n/2

∑

^j=0

(-1)

^j

(n-j)!

2^jn!

×

⎧

⎨

⎩

 

∑

^{по перестановкам}

g

^μ_i1μ_i'1

…

g

^μ_ijμ_i'j

⎫

⎬

⎭

(p²)

^j

×

 

∑

^{по перестановкам}

p

^μ_k1

…

p

^μ_kn-2j

A

_(TMC)n-2

^NS,j

,

N

_μ1…μn

^NS

=

𝚂

q

γ

^μ₁

D

^{μ₂…Dμ_n}

q

⎪

⎪

 

_NS

(25.1)

(индекс TMC означает, что учтена поправка на массу мишени). Так как выполняется равенство g^μ_ig^μ_j⟨p|N_NSμ1…μn|p⟩=0, мы получаем набор соотношений, разрешив которые можно выразить величины Aⁿ_j через Aⁿ₀ . Тогда

T

_(TMC)

^2NS

(x,Q²)

=

1

2

 

∑

ⁿ

x

^-n-1

_∞

∑

^j=0

⎛

⎜

⎝

p²

Q²

⎞^j

⎟

⎠

(n+j+2)!(n+2j)!

j!n!(n+2j+2)!

×

A

_(0)n+2j

^NS

C

_n+2j

^NS

,

A

_(0)n

^NS

≡

A

_(TMC)n

^NS,j

.

(25.2)

Окончательный результат имеет вид

μ

_(TMC)

^NS

(x,Q²)

=

_∞

∑

^j=0

⎛

⎜

⎜

⎝

m

²

^N

Q

²

 

⎞^j

⎟

⎟

⎠

(n+j)!

j!(n-2)!

C

_n+2j

^NS

(n+2j)

 

  (n+2j-1)

A

_(0)n+2j

^NS

,

(25.3 а)

μ

_(TMC)

^NS

(x,Q²)

=

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^n-2

ƒ

_(TMC)

²

(x,Q²) .

(23.5 б)

Функцию ƒ₂ удобно определить как предел структурной функции ƒ^(TMC)₂ при m²_N→0, а момент μ задать в виде

μ

_NS

(n,Q²)

=

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^n-2

ƒ

₂

(x,Q²) .

(25.4)

Полученные в § 24 уравнения применимы как раз к этим величинам μ и ƒ₂ . Чтобы вычислить моменты с учетом поправок на массу мишени, используем выражение (25.3а) и получим

μ

_(TMC)

^NS

(n,Q²)

=

_∞

∑

^j=0

⎛

⎜

⎜

⎝

m

²

^N

Q

²

 

⎞^j

⎟

⎟

⎠

(n+j)!

j!(n-2)!

×

1

(n+2j)(n+2j-1)

μ

_NS

(n,Q²);

(25.5)

однако вычислять моменты нет необходимости. После несложных выкладок можно найти, что выражение (25.5) эквивалентно следующему выражению (ξ-скейлингу):

ƒ

_(TMC)

²

(n,Q²)

=

x

²

 

/ξ

²

 

(1+4x²m

²

^N /Q²)^3/2

ƒ

₂

(ξ,Q²)

+

6m

²

^N

Q

²

 

⋅

x

³

 

(1+4x²m

²

^N /Q²)²

∫

¹

 

_ξ

𝑑ξ'

ξ'²

ƒ

₂

(ξ',Q²)

+

12m

₄

^N

Q

₄

 

⋅

x

₄

 

(1+4x²m

²

^N /Q²)^5/2

∫

¹

 

_ξ

𝑑ξ'

×

∫

¹

 

_ξ

𝑑ξ''

ξ''²

ƒ

₂

(ξ'',Q²),

(25.6)

где ξ — так называемая переменная Нахтмана:

ξ=

2x

1+(1+4x²m

²

_N /Q²)^½

(25.7)