Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Следует отметить некоторые особенности полученных формул. Во-первых, при малых значениях переменных x, поскольку поправки на массу мишени ведут себя как x²m²_N/Q², ими можно полностью пренебречь. Эти поправки важны только при больших (но не слишком больших) значениях переменной x . В самом деле, если эти формулы применить к случаю x→1, то возникают неустойчивости. Это происходит по двум причинам. Во-первых, вклад операторов высших твистов (которые рассматриваются ниже) возрастает в пределе x→1. Хотя и ожидается, что обусловленные этими операторами поправки имеют вид 3M²/Q² , где M≈Λ, т.е. на половину порядка величины меньше, чем поправки на массу мишени, но могут происходить (и, вероятно, происходят) разного рода сокращения^40а). Во-вторых, как было показано в § 23, в пределе x→1 теория возмущений неприменима.

^40а) Обсуждение этого вопроса можно найти в работах [90,91]

Поэтому более последовательным, по-видимому, было бы разложить 25.6) в ряд по степеням величины m²_N/Q² и сохранить только ведущий член. Выражение для поправок на массу мишени в этом случае упрощается и принимает вид

ƒ

^TMC

(x,Q²)

=

ƒ(x,Q²)

+

x

²

^N

Q

²

 

⎧

⎨

⎩

6x

∫

¹

 

_x

𝑑y

ƒ(y,Q²)

y²

-x

∂

∂x

ƒ(x,Q²)-4ƒ(x,Q²)

⎫

⎬

⎭

.

(25.8)

При этом КХД становится неприменимой, когда поправки второго порядка

∼

⎧

⎪

⎪

⎩

x³ν(α

_s

)n

₂

^N

(1-x)Q

₂

 

⎫²

⎪

⎪

⎭

велики. Другими словами, мы принимаем эту величину в качестве параметра, характеризующего допустимую ошибку вычислений: трудно утверждать, что следует учитывать поправки порядка m⁴_N/Q⁴ и в то же время пренебрегать поправками порядка M²/Q².

§ 26. Непертурбативные эффекты в e⁺e^--аннигиляции и операторы высших твистов в процессах глубоконеупругого рассеяния

Мы рассматриваем оба эти эффекта в одном параграфе потому, что, с нашей точки зрения, они связаны друг с другом. Начнем с обсуждения непертурбативных (нетеоретиковозмущенческих) эффектов. Как уже обсуждалось в § 15, для этого необходимо рассмотреть величину Π^μν, входящую в выражение (15.4)

Рассмотрим хронологическое произведение

TJ

^μ

(x)J

^ν

(0)

с точки зрения операторного разложения. При малых x для него можно записать разложение по операторному базису, которое в импульсном пространстве с учетом обозначения Q²=-q² имеет вид

i

∫

𝑑x e

^iq⋅x

TJ

^μ

(x)J

^ν

(0)

=

(-g

^μν

q²+q

^μ

q

^ν

)

×

⎧

⎨

⎩

C

₀

⎡

⎣

Q²/ν²,g(ν)

⎤

⎦

⋅1+

 

∑

^ƒ

C

_ƒ

⎡

⎣

Q²/ν²,g(ν)

⎤

⎦

m

_ƒ

:

q

_ƒ

(0)q

_ƒ

(0):

+

C

_G

⎡

⎣

Q²/ν²,g(ν)

⎤

⎦

α

_s

:

∑

G

_μν

^a

(0)G

_aμν

:+…

⎫

⎬

⎭

.

(21.6)

В § 15 мы рассматривали только первый член разложения C₀1. Это было сделано по двум причинам. Во-первых, основываясь только на размерном анализе, можно ожидать, что коэффициенты C_ƒ и C_G ведут себя следующим образом:

C

_ƒ

≈

(constant)

Q⁴

, C

_G

≈

(constant)

Q⁴

.

(26.2)

Во-вторых, во всех порядках теории возмущений

⟨:

q

q:⟩

₀

=0

,

⟨:G²:⟩

₀

=0 ,

(26.3)

Однако, как будет показано ниже (см. § 30 и последующие параграфы), физический вакуум не совпадает с вакуумом теории возмущений, а должен содержать ряд непертурбативных эффектов. Используем индекс vac для обозначения физического вакуума. Весьма вероятно, что в реальном физическом мире выполняются неравенства

⟨:

q

q:⟩

_vac

≠0

,

⟨:G²:⟩

_vac

≠0 ,

Вернемся к разложению (26.1). При Q²→∞ для любого n член [1/log (Q²/Λ²)]ⁿ убывает медленнее, чем члены вида (M²/Q²)^r, и, следовательно, превосходит их. Но могут существовать промежуточные области, где, например, члены (26.2) столь же важны, как и поправки второго порядка к коэффициенту C₀ , который является чисто пертурбативным членом. Таким образом, при практическом применении операторного разложения^40б) полезно рассмотреть все выражение (26.1) в целом.

^40б) Некоторые приложения можно найти в подобных основополагающих работах [229,230]

Результат для коэффициента C₀ нам уже известен:

C

₀

(Q²)/ν²;g(ν),ν

=

3

 

∑

^ƒ

Q

²

^ƒ

-1

12π²

⎧

⎨

⎩

log

-q²

ν²

+

3

4

⋅

4C_F

β₀

log log

-q²

ν²

+…

⎫

⎬

⎭

+

O

⎧

⎪

⎪

⎩

m

₂

^ƒ

Q

₂

 

⎫

⎪

⎪

⎭

.

(26.4)

Следует отметить, что в вычислениях § 15 пренебрегалось пертурбативными поправками, обусловленными массами кварков; им соответствуют члены O(m²_ƒ/Q²) в разложении (26.4). Может показаться необоснованным учет старших членов в разложении (26.2), в то время как членами вида m²_ƒ/Q² пренебрегают. Члены m²_ƒ/Q² действительно очень важны при расчетах процессов с участием тяжелых кварков c и b; их учет не представляет трудностей; пример такого расчета можно найти в § 28. Что касается легких кварков (u, d и s), то эффективная масса s-кварка m_s≈200 МэВ при Q²≥2 ГэВ². Поэтому такими поправками можно пренебречь; члены m²_ƒ/Q² при соответствующих значениях Q² много меньше других членов.

Коэффициенты и C_ƒ и C_G можно найти, используя стандартные методы вычислений; детали для типичного случая приведены в § 36 (см. (36.4) — (36.8)). Выражения для этих коэффициентов имеют вид [229, 230]

C

_ƒ

=

2

3

Q

²

^ƒ

1

Q⁴

 ,

C

_G

=(3

∑

Q

²

_ƒ

)

1

36πQ⁴

.

(26.5)