Математика для гуманитариев: живые лекции

x + yi _ (х + yi)(z — ti) _ z + ti (z + ti)(z — ti)

_ (xz + yt) + (yz — xt)i _ xz + yt _| yz — xt. ~ ⁺

Итак, мы получили комплексное число в стандартном виде: веще-

xz + yt, yz — xt

ственная — — и мнимая — — части.

z +t z +t

Всё. Теперь мы умеем делить, умножать, складывать и вычи­тать — всё как с обычными действительными числами. Однако мы пока не видим, как геометрически это выглядит, а это очень важно и чрезвычайно полезно.

Давайте все-таки это поймем. Для этого перемножим

(х + yi)(z + ti)(x — yi)(z — ti).

Если я буду перемножать почленно, то получится

(x+yi)(z+ti)(x-yi)(z-ti) = [(xz-yt)+(xt+yz)i][(xz-yt)-(xt+yz)i\.

Обратите внимание, получились сопряженные комплексные чи­сла — значит, их произведение равно

(х + yi)(z + ti)(x — yi)(z — ti) =

= [{xz-yt) + (xt+yz)i][(xz^yt)^(xt+yz)i}) = (xz-yt)* + (xt, + yzf.

А если я вспомню, что от перемены мест множителей произведение не меняется, и переставлю скобки, то получу

[(_Ж + уг)(х - yi)][(z - ti))(z + ti)] = (х² + y

²)(z² + t²).

Но мы же умножали одно и то же, значит, результаты совпадают:

(ж² + y²)(z² + t²) = (xz - yt)² + (xt + yz)².

Это таинственное правило иногда изучается в школе как одно из правил сокращенного умножения. Но смысл его скрывается. Можно честно раскрыть все скобки и получить верное равенство. Совершенно честно, без всяких комплексных чисел. Но если вы сделаете это без комплексных чисел, то природа явления будет не видна и непонятна. А с номощыо комплексных чисел мы го­ворим. что (xz — yt)² + (xt + yz)² квадрат длины вектора, ко­торый является произведением исходных векторов (х,у) и (z.t). А (х² + у²) и (z

² +t²) квадраты длин самих исходных векторов. Если я извлеку корень из этих длин, то получится, что

длина вектора произведения равна произведению длин исходных векторов

sj (xz — yt)² + (xt + yz)² = sj (x² + y²)(z² + t²).

Мы узнали, что при перемножении комплексных чисел их длины перемножаются. Осталось выяснить, куда будет напра­влен вектор произведения. Вопрос, что же происходит с углами поворота каждого из сомножителей?

Сейчас я могу только сказать, что мое произведение лежит где-то на окружности радиуса, равного произведению длин наших векторов. Но где именно? Сейчас мы рассмотрим преобразование плоскости. Давайте нанесем на наши оси координат единичную окружность. На этой окружности «живут» точки 1. —1, i и —* (рис. 149).

Рис. 149. Единичная окружность на комплексной плоскости.

Рис. 150. Нижний катет равен cos tp, правый равен siny.

Точка данной окружности определяется углом, на который по­вернулся вектор единичной длины. Косинус это координата по оси X, синус по оси у. В учебниках пишут, что косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Но здесь гипоте­нуза имеет длину 1. Поэтому косинус равен просто горизонтально­му катету. А синус это отношение другого катета к гипотенузе. Гипотенуза имеет длину 1, и синус это просто второй катет.

А теперь я совершу обещанное преобразование: умножу все точ­ки плоскости на комплексное число cos р + imnp.

Напомню, что при умножении комплексных чисел длина полу­чаемого вектора равна произведению длин перемножаемых

sj(xz — yt)² + (xt + yz)² = sjx² + у² \Jz² + t².

Подставим слева в формулу cos р и sin р вместо z к t

sj(х² + у²)(cos² (р + sin² ip) = \J(xz — yt)² + (xt + yz)².

Ho cos² p + sin² p = 1 (основное тригонометрическое тождество, следствие теоремы Пифагора). Получаем

\/(х² + У²)( 1) = \J(xz - yt)² + (xt + yz)².

Мы домножаем па единицу, а значит, длина вектора не изменяется.

Получается, что при умножении на число cos ip + i sin ip любое комплексное число остается на той же окружности, на которой оно лежало.

Комплексное число «жило», например, в точке А, на рассто­янии \Jх² + у'² от точки (0,0); после преобразования оно будет «жить» на той же самой окружности в какой-то другой точке В. но на том же расстоянии от (0,0) (см. рис. 151).

Похожим образом показывается, что для любых двух точек плоскости умножение на cos p+i sin 93 не изменит расстояния между ними.

Рис. 151. В = A - (cos tp + i sinyj)

Иными словами, умножение на число cos p+i sin р, примененное ко всем точкам плоскости, является движением плоскости.

Давайте попробуем понять, что же это за движение.