Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

«Бывает, я задаю ей вопрос-утверждение; это как проба лотом с борта корабля. Сам я уверен в нем настолько, насколько, к моменту его формулировки, я продвинулся на пути к пониманию общей картины».

«Часто, особенно в начале исследования, утверждение бывает заведомо ложным – достаточно сформулировать его, чтобы в этом убедиться».

Еще бы понять, что в его понимании означает расспрашивать вещи, задавать вопросы и брать пробы лотом.

На всем протяжении книги Гротендик описывает математическую работу как последовательность конкретных физических действий. Но что точно значит расспрашивать вещи? Если я хочу расспрашивать вещи, как мне поступать? При близком рассмотрении это весьма загадочное выражение, почти настолько же загадочное, как его зеркальный двойник, которым также пользуется Гротендик: вслушиваться в голоса вещей.

И кстати, раз уж мы здесь, – что такое «математическая вещь»? Где можно встретить эти самые вещи и как вступить с ними в общение?

Гротендик никогда не утруждает себя уточнением, вероятно, потому, что он настолько привык вести диалог с этими вещами, что уже забыл, что и ему самому пришлось этому учиться.

Математические вещи – это вещи, которые люди, не связанные с математикой, называют математическими понятиями

или математическими абстракциями. Речь может идти о числах, множествах, пространствах, геометрических формах различной природы или других типах абстрактных структур. А вот математики любят называть это математическими объектами, потому что представление этих вещей в роли конкретных объектов, которые можно потрогать, облегчает понимание.

Расспрашивать вещи, вслушиваться в голоса вещей – значит пытаться представить их, изучить мысленный образ, который у нас возникает, попытаться сделать его прочнее, точнее, обнаружить в нем больше подробностей, словно пытаясь вспомнить сон.

Удовольствие ошибаться

Нужно выразить этот подход в конкретных терминах. Язык «Урожаев и посевов» настолько образен, что может создаться впечатление, будто автор намеренно стремится сохранить недосказанность.

Такое впечатление ошибочно. Гротендик изо всех сил старается быть точным. Его загадочный лексикон служит для решения насущной проблемы – его текст говорит о действиях, которые мы производим у себя в голове, и мысленных образах, которыми мы манипулируем, но в нашем языке нет нужных слов. Не существует специального лексикона, чтобы простыми словами рассказать об этих действиях и этих образах. Никто не позаботился сказать нам, что у нас есть право об этом говорить.

Позиция маленького ребенка – это не аллегория, а совершенно конкретный настрой ума.

Базовый принцип прост, но представляет собой настоящую революцию. Это тот тип идей, о которых почти никто не задумывается, потому что это слишком просто и противоречит нашему инстинкту. Тот тип идей, который как раз и способен все изменить, на всех уровнях обучения математике, включая совсем начинающих и так называемых неспособных.

Когда мы узнаём новое математическое понятие, нам сложно его представить. Оно является нам в форме абстрактного определения, последовательности слов на странице или предложения, произнесенного преподавателем. Эта последовательность слов не имеет для нас никакого смысла. Она ни о чем нам не говорит.

Обычно учащиеся не чувствуют себя вправе представлять математические объекты, которых они еще не понимают. Они ощущают необходимость узнать больше, прежде чем осмелиться их увидеть. А пока удовлетворяются расшифровкой. Они ничего не понимают, у них трещит голова, но они говорят себе, что если будут упорствовать, то смогут собрать самую важную информацию, а пытаясь ее запомнить, может быть, в конце концов поймут. Только вот это никогда не работает.

Гротендик поступает иначе. Он знает, что ни к чему накапливать информацию о вещах, которые не удается увидеть. Вместо этого он разрешает себе представлять эти вещи сразу же, ничего не дожидаясь, даже если он твердо знает, что ему это не удастся, а его способ их представить будет до нелепого неверным.

Он совершенно не боится ошибаться. Более того, он уверен, что непременно ошибется, и именно к этому и стремится.

Гротендик активно ищет ошибку, как маленький ребенок ищет, каких бы еще наделать глупостей. В своем исследовании математического мира каждый раз, как он чувствует что-то странное или интригующее, неясное или неудовлетворительное, противоречивое или неприятное, он направляется именно туда.

Когда в его видении мира что-то идет не так, это вызывает в нем чувство беспокойства. Он углубляется в поиск, чтобы обнаружить источник этого беспокойства, так как это единственный способ унять его. Обнаружение ошибки – это источник удовольствия и облегчения.