Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

«Момент, когда тебе наконец открывается ошибка в работе, можно смело назвать решающим. Для всякого труда, связанного с открытием, это – момент истинного творчества. И не так уж важно, о чем здесь идет речь, будь то математическая работа или труд, посвященный открытию себя самого. Это – то самое мгновение, когда наше знание, о чем-то или о ком-то, вдруг обновляется».

То, что Гротендик пишет об ошибках, имеет вселенский размах, далеко выходящий за пределы науки. Эти слова следовало бы выгравировать на фасадах школ:

«Бояться ошибки – по сути то же, что бояться истины. Тот, кто боится промахнуться, неспособен сделать открытие. Страх оступиться придает ошибке каменную неуязвимость».

Мало кто знает, что в математике основные препятствия имеют психологическую природу, и не только в начале, а на протяжении всего пути, до самого высокого уровня науки. Взрослея, мы боимся выглядеть глупо. Учимся стыдиться своих ошибок. Учимся скрывать, в том числе от самих себя, что мы почти ничего не поняли. Чтобы добиться успехов в математике, надо научиться дезактивировать именно этот рефлекс все скрывать. А это очень сложно.

В возрасте, когда мы еще были вольны задавать глупые вопросы, в том числе сотню раз подряд задавать один и тот же вопрос, неспособных к математике не было. Великие математики изобретают и внедряют специальные техники, чтобы вновь обрести эту детскую невинность. Все они заявляют, что это необходимо. Мы вернемся к этому в главе 13.

Вопрос пластичности

Когда Гротендик говорит об «ошибке внутри нас», это не имеет никакого отношения к логике. Это не ошибка в вычислении и не ошибка в рассуждении. Ошибка, о которой говорит Гротендик, – это ошибка интуиции, ошибка видения: образ вещей, который мы себе создали, неверен.

Как мы будем наблюдать на протяжении всей этой книги, главная задача понимания математики – суметь постепенно изменить наш способ представлять себе предметы, сделать его яснее, точнее и ближе к реальности.

Иногда говорят, что полушария нашего мозга якобы функционируют по-разному. Левая часть мозга специализируется на логическом мышлении и счете, а правая – на ассоциативном и интуитивном мышлении.

Это нелепость. Столь фантазийное толкование нашей анатомии родом из 1960-х годов и с тех пор уже дискредитировано. На самом деле две половины нашего мозга очень похожи друг на друга и на самом глубинном уровне работают по ассоциативному и интуитивному принципу. Органа, который позволяет понимать мир логически, не существует. Если вы на него рассчитываете, чтобы продвинуться в математике, ждать придется долго.

Наша удивительная способность обучаться и изобретать берет свое начало в пластичности мозга, то есть в неосознанной способности без конца перестраивать ткань ассоциаций, связанных с образами и ощущениями, которая, как в буквальном, так и в переносном смысле, и есть подлинная структура нашего мозга и нашей мысли.

Постижение нового – это всегда вопрос пластичности мозга. Ошибка играет здесь основную роль – она и есть двигатель пластичности. Научиться видеть, ходить, пользоваться ложкой, завязывать шнурки, говорить, читать и писать – все это всегда означает перестройку мозга. Она никогда не происходит сразу. Ребенок не умеет ходить, пока не попробует и не потерпит неудачу. Ему нужно падать, чтобы научиться стоять. Только накопление ошибок позволяет ему постепенно развить интуитивное чувство равновесия.

Как любой психомоторный навык, осмысление нового математического понятия идет через перестройку интуиции, что предполагает фазу поисков наощупь. Если переформулировать слова Гротендика об ошибке применительно к ходьбе, они становятся кристально ясными:

Бояться упасть – по сути то же, что бояться ходить. Тот, кто боится разбить себе нос, уже тем самым неспособен научиться ходить. Именно решение остаться сидеть на месте придает изначальной неловкости форму психомоторного нарушения.

Роль логики

В мире мысленных образов законы физики неприменимы. Можно представить что угодно, в том числе взаимоисключающие вещи, и не споткнуться о них. Можно не бояться ошибиться.

Именно в этой точке математический подход расходится с нашим обычным способом использовать интуицию. Математики придумали метод, который позволяет обнаружить ошибки, пока они у нас в мыслях. Он опирается на письмо, а точнее – на письмо на официальном языке математики, который строится вокруг логического формализма.

Логика нужна не для того, чтобы думать. Она нужна, чтобы обнаружить, в каком месте мы думаем неправильно.

Когда Гротендик берет пробы лотом, чтобы расспросить вещи, которые хочет понять, именно письмо дает ему ответ.