Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Если это кажется вам абстрактным, вот конкретный способ это представить. Вы участвуете в телеигре. В мешке лежит 100 чеков: на 1 доллар, на 2 доллара, на 3 доллара, и так далее до 100 долларов. У вас есть право выудить вслепую только один чек. Сколько в среднем вы ожидаете выиграть?

Переформулирую вопрос: если наугад взять число между 1 и 100, чему в среднем оно равно?

Большинство людей не задумываясь отвечают «50». Они находят это очевидным. Но если среднее арифметическое целых чисел от 1 до 100 равно 50, значит, их сумма равна 5000: сумма 100 чисел равна их среднему арифметическому, умноженному на 100. И это для большинства людей тоже очевидно.

Ну и что тогда мешает не задумываясь ответить, что сумма целых чисел от 1 до 100 равна 5000?

(Если ваша интуиция действительно говорит, что среднее арифметическое равно 50, она ошибается. Не смущайтесь, это ровно та же ошибка, что у Тёрстона. На самом деле среднее арифметическое равно 50.5. На этом этапе ошибка в 1 % точно не должна портить вам удовольствие. А вообще 50 равно среднее арифметическое 101 целого числа от 0 до 100.)

Если вы не понимаете, что произошло, и вам кажется абсурдным, что задача мгновенно перестает казаться сложной, – это потому, что вы недооцениваете силу вероятностного мышления. Собрать в голове 5050 кубиков – это работа грузчика, подразумевающая определенное когнитивное усилие. И напротив, вероятностный взгляд – это своего рода кун-фу, помогающее сосредоточить внимание за счет подсознания, не прилагая когнитивного усилия.

Вы уже знали, как вычислить сумму целых чисел от 1 до 100, хотя сами об этом не догадывались.

Понятие среднего арифметического – чисто человеческое изобретение, абстрактный математический концепт, который вам преподали, и вы крепко усвоили его, как и десятичную запись. Вы научились «видеть» средние значения, то есть рассчитывать их, не осознавая этого и не нуждаясь в выполнении расчетов. Если вы хотите активировать собственную интуицию и преобразовать ее в строгое рассуждение, если вы хотите понять, почему среднее значение будет равно 50.5, а не 50, вы должны прислушаться к себе, к своим бессознательным процессам и их механизмам.

Эта работа по самопознанию лежит в основе математической задачи. Она подразумевает, что необходимо деконструировать мысленные образы, которые вы используете неосознанно, и определить, как их можно улучшить. Именно эта работа позволяет вам день за днем усиливать свою интуицию.

Математики манипулируют абстракциями, забывая об их абстрактности, и предпочитают называть их объектами. Они любят говорить, что эти объекты

существуют. Говоря это, они не обязательно хотят поучаствовать в старом метафизическом споре о реальности абстракций, который длится со времен Платона. Они всего лишь хотят сказать, что так и надо заниматься математикой: создать дружескую связь с этими объектами, разрешить себе воображать их и манипулировать ими у себя в голове точно так же, как мы манипулируем бананами.

Чтобы подружиться с математическим объектом, нужно долго наблюдать за ним, вдумчиво и расслабленно, с любопытством и непредубежденностью. Нужно дать себе время поиграть с ним и создать связь за пределами языка.

Когда Эйнштейн заявлял, что он «страсть как любопытен», когда Гротендик говорил, как важно, «с жадностью вслушиваясь в голоса вещей, предаваться во власть этой младенческой игры целиком», они имели в виду именно это.

Глава 13

Показаться идиотом

В начале учебы я думал, что математическое творчество предназначено для людей умнее меня. Я думал, что математический интеллект – врожденное качество, и каждому досталось определенное его количество. Мне повезло получить больше среднего. Гениям досталось до неприличия больше, чем мне.

Тогда я еще не понял, что математический интеллект – это то, что создаешь сам. Это естественный результат физической деятельности, которой волен заниматься каждый: математического воображения.

Математика – это наука воображения. Между теми, кто разрешает себе воображать математические объекты, наблюдать за ними и ими манипулировать, и теми, кто запрещает себе это делать, возникает разрыв. Со временем этот разрыв становится чудовищным и непотребным – настолько же чудовищным и непотребным, как разрыв между детьми, у которых комната полна игрушек, и детьми, которые не знают, что на свете существуют игрушки.

Вопреки стереотипу, логика не враг воображения. Более того, она его величайший союзник. Истинный враг воображения, который затрудняет понимание и заставляет нас чувствовать себя идиотами, – это всегда страх.