Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Из всех математических понятий истину одновременно проще всего и сложнее всего объяснить. Если вы хотите объяснить число 2, вы можете показать два апельсина. Если вы хотите объяснить, что такое треугольник, вы можете показать треугольник. Но если вы хотите объяснить, что такое истина для математиков, что вам показать?

Благодаря этому вымыслу математики разрабатывают новые подходы к реальности и новые способы мысли, которые на протяжении истории доказали свое могущество и плодотворность.

Объекты вымысла через конкретное и интуитивное воплощение становятся новыми концептами, обогащающими наше понимание. Они словно выходят из вымысла и становятся «реальными», воплощенными, как число 2 воплощено у нас перед глазами, когда мы видим два апельсина.

В этом процессе возвращения к реальности все математические объекты теряют совершенство, но сохраняют основные характеристики, в которых заключался интерес их бытия в вымысле. Может быть, апельсин и не истинный шар, но он все равно круглый.

Все – кроме одного. Главный герой словно застревает в вымысле. В реальном мире ничто не бывает истинным в том смысле, как это понимают математики.

И когда сон развеивается, математическая истина мгновенно исчезает, словно джинн, вернувшийся в бутылку.

Воображаемый друг

Я настолько привык к такому образу мышления, что он уже даже не кажется мне странным.

Но когда я пытаюсь взглянуть на него извне, я вынужден признать, что он все же довольно странен. Я не знаю никакой другой человеческой деятельности, которая проходила бы в таком бешеном круговороте реального и воображаемого. С такой точки зрения весь подход кажется совершенно сумбурным.

Все равно что математики вели бы беседы с воображаемым другом и он раскрывал бы им тайны окружающего мира. Непонятно, как такое вообще получается.

Постоянные недопонимания, что является воображаемым, а что нет, портили понимание математики на всем протяжении истории.

Да, есть так называемые мнимые числа, но они не более и не менее мнимые, чем так называемые действительные числа, а те, в свою очередь, не более и не менее действительны, чем так называемые рациональные числа.

Введение каждого нового типа чисел вызывало крайнюю неловкость не только у общественности, но и у самих математиков, включая тех, кто вводил эти новые числа.

В XIX веке еще находились серьезные математики, утверждавшие, что отрицательные числа – лишь химеры. В XV–XVI веках их защитники дали им название абсурдные числа. С тех пор, видимо, изменилась сама реальность. Ранее абсурдные числа стали конкретными и очевидными. Они заполонили нашу жизнь. Чтобы осознать, что отрицательные числа не химеры, достаточно открыть банковский счет.

Кантора обзывали «шарлатаном», «ренегатом» и «совратителем юношества» за то, что ему удалось спокойно и точно рассказать о бесконечности. По сути, ему ставили в вину, что он сделал осязаемым то, что должно было оставаться неуловимым. С точки зрения теологии математики занимаются недобросовестной конкуренцией.

«Сущность математики заключена в ее свободе», – говорил Кантор. Свобода математиков – обращаться с воображаемыми вещами как с реальными, как только они становятся «истинными». На этой почве математики даже считают их «конкретными».

Оказалось, что этот подход работает великолепно. Естественно, что математики не остановятся на таком удачном пути. Они продолжают забавляться сверхъестественными или чудесными свойствами своих конструкций. Они манипулируют идеалами, спектральными последовательностями, функторами отрицания. Они изучают загадочный объект, именуемый Монстром и обитающий в размерности 196 883. А в алгебре есть конструкция, которая называется мошенничество Мазура–Эйленберга

.

Реально странная штука

Процесс понимания математики уже сам по себе странен. Но вот процесс открытия и творчества еще причудливее. Это настолько особый и озадачивающий опыт, что о нем сложно говорить, не прослыв блаженным.

Один из самых выбивающих из колеи моментов – внезапность, с которой приходят идеи, без усилий и почти всегда не к месту. Они «как будто призваны из небытия», если повторить выражение Гротендика.

В очень серьезной статье за авторством Боба Томасона и Тома Тробо можно узнать, что вклад второго автора (на тот момент уже умершего) сводился к явлению во сне первому автору, чтобы указать ему решение.

Один из моих близких друзей, превосходный математик, чье имя я называть не стану, недавно признался мне, что его как-то посетило очень четкое ощущение – которым он так и не рискнул поделиться, – что величайшие идеи за всю его карьеру подсказал ему непосредственно Бог (притом что он яростный атеист).

Что касается меня, я никогда не чувствовал ничего подобного. Мне просто казалось, что я могу левитировать и проходить сквозь стены.