Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Невозможный рассказ

«Начала» Евклида, один из древнейших трактатов по официальной математике, написаны 2300 лет назад. С тех самых пор математику представляют как логическую, дедуктивную науку. Вторая часть истории, про невидимые действия в нашей голове, была скрыта.

До последних 10 лет у нас не было удовлетворительного способа представить работу собственного интеллекта.

По сути, единственной моделью в нашем распоряжении было механическое дедуктивное рассуждение. Эта модель существует с античных времен. Ее метафора – счет

. Его латинизированное название, «калькуляция», происходит от слова calculus, что означает «камешек» и отсылает к камешкам, которые в то время использовались в счетах. На протяжении веков эта метафора воплощалась в различных материальных объектах: сначала в счетах, потом в станках, сегодня в микропроцессорах. Постепенно она стала синонимом математики и рациональности – а то и интеллекта в целом.

Эта категорическая бессмыслица лишила нас возможности связать математику с повседневным человеческим опытом.

Разумеется, мы всегда знали, что наш интеллект этим не ограничивается. Мы знали, что есть что-то еще, нечто загадочное, что мы называли духом, интуицией, третьим глазом или шестым чувством, о чем не могли упомянуть, не обращаясь к паранормальному регистру.

Единственными моделями в нашем распоряжении были магические и сверхъестественные сущности, неподконтрольные нам, привилегия общения с которыми была доступна лишь немногочисленной элите, обладающей особым даром. Эти модели практически не изменились с доисторических времен.

Даже наш язык был для нас загадкой. Кто придумал слова? Как нам удается понимать смысл фраз? Какова природа концептов? Наука едва коснулась этих вопросов. Они принадлежали области метафизики и теологии.

Но ведь математика – это прежде всего вопрос пластичности мозга. Понять математику – значит перепрограммировать свою интуицию. В тайных техниках математиков паранормального не больше и не меньше, чем в техниках, позволивших Бену Андервуду видеть мир, щелкая языком.

Пока наша мыслительная деятельность казалась нам чем-то магическим, объяснить математику было невозможно по существу.

Написать эту книгу мне позволила встреча с алгоритмами глубокого обучения. Они внушили мне уверенность в ценности моего свидетельства и позволили связать субъективный опыт с достаточно рациональными вещами, чтобы их можно было рассказать за пределами частной беседы.

Недостающим ингредиентом моего курса введения в математику был рассказ о человеческом опыте. Если человеческое понимание является истинной задачей математики, значит, механизмы этого понимания должны быть частью преподавания. Человеческий вклад не может быть побочной темой, изложенной неформально в виде отдельных историй.

Но на протяжении тысячелетий такой рассказ был невозможен. Ни метафора счета, ни метафора магии не позволяли изложить его беспристрастно.

При интерпретации в рамках глубокого обучения странные явления, окружающие математическое понимание, перестают для меня быть странными. Да, как я уже говорил, идеи приходят невпопад, «как будто призваны из небытия», и это нормально. Да, пластичность – это незаметный, медленный механизм, который работает сам по себе и без целенаправленного усилия, если только мы видим правильные образы. Да, ключ к пониманию – заставить себя воображать разные вещи как раз тогда, когда мы их еще не понимаем, что очень мало кто себе позволяет. Да, обращать внимание на мелкие детали, которые нас беспокоят, критически важно. (Сама техника картезианского сомнения странно похожа на «состязательные» техники, которые используются, чтобы ускорить схождение обучающих алгоритмов).

Концепты у нас в голове не сверхъестественные сущности из параллельного мира, а мысленные представления, выстроенные нашим мозгом. Эти представления – плод нейронного обучения, позволяющего нам интерпретировать и «видеть» мир.

Математические концепты, которые там находятся, не более и не менее реальны, чем все остальные. Единственная разница – они туда попали усилием воображения, а не путем непосредственного наблюдения за физическим миром. Именно в этом – и только в этом – смысле они являются воображаемыми. Стоит нам их понять, как математические концепты становятся такими же очевидными, как слоны.

Пробуждение к математике

На протяжении тысячелетий способ рассказывать о математике сделал ее непостижимой для большинства. Сейчас у нас есть возможность рассказать о ней иначе.

Обучение математике должно быть психомоторным процессом, как и все остальные, доступным для самого широкого круга, в точности как обучение плаванию или езде на велосипеде. Но неверные представления о природе нашего языка и работе мысли препятствуют этому простому и непосредственному обучению. Они блокируют действия, позволяющие учиться.